Funkcja kwadratowa — zadania optymalizacyjne

Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową to jeden z trudniejszych, ale bardzo często pojawiających się typów zadań na maturze rozszerzonej — łączą modelowanie sytuacji z treścią z rachunkiem na paraboli. Ta lekcja pokazuje pełny algorytm rozwiązywania takich zadań: od zapisania wielkości szukanej jako funkcji jednej zmiennej, przez wyznaczenie dziedziny wynikającej z treści, po znalezienie wartości ekstremalnej.

Materiał zaczyna się od podstaw — jak wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym w zależności od tego, czy wierzchołek paraboli należy do tego przedziału, czy leży poza nim. Jeśli wierzchołek jest w przedziale, jest on kandydatem na ekstremum; jeśli nie — trzeba sprawdzić wartości funkcji na obu końcach przedziału. Druga część lekcji przechodzi do klasycznych zadań z treścią: minimalizacji sumy kwadratów przy ustalonej sumie liczb, maksymalizacji pola prostokąta wpisanego w trójkąt, oraz zadań ekonomicznych z kosztem, przychodem i zyskiem, gdzie zysk to różnica przychodu i kosztu.

Zestaw 11 pytań testowych obejmuje zarówno czysto rachunkowe zadania na ekstrema w przedziale, jak i zadania z treścią wymagające najpierw zbudowania modelu matematycznego. Do każdej odpowiedzi dołączono szczegółowe wyjaśnienie krok po kroku, a fiszki porządkują wzory na wierzchołek, deltę i postać kanoniczną potrzebne do tych zadań.

Lekcja jest przeznaczona dla uczniów przygotowujących się do matury rozszerzonej z matematyki, dla których zadania optymalizacyjne są jednym z najczęstszych źródeł punktów w zadaniach otwartych.

Wyznaczasz wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Rozpoznajesz, kiedy wierzchołek paraboli jest kandydatem na ekstremum, a kiedy trzeba sprawdzić końce przedziału
Budujesz model kwadratowy dla zadań z treścią (pole, koszt, zysk)
Minimalizujesz sumę kwadratów liczb przy zadanym warunku na ich sumę
Wyznaczasz funkcję zysku jako różnicę przychodu i kosztu oraz znajdujesz jej ekstremum
Stosujesz podobieństwo trójkątów do zapisania pola figury jako funkcji jednej zmiennej

Materiał obejmuje rozszerzony zakres matury z matematyki: zastosowania funkcji kwadratowej w zadaniach optymalizacyjnych, wyznaczanie wartości najmniejszej i największej w przedziale domkniętym oraz zadania z treścią dotyczące pola, kosztu i zysku prowadzące do modelu kwadratowego.

Przykładowe pytanie

Trójkąt o podstawie długości 10 i wysokości 8 (wysokość zaznaczona linią przerywaną). W trójkąt wpisano prostokąt: jego dolny bok leży na podstawie trójkąta, a dwa górne wierzchołki na pozostałych bokach trójkąta.

Które z poniższych działań są poprawne przy szukaniu największego pola prostokąta wpisanego w trójkąt o podstawie $10$ i wysokości $8$?

Wykorzystanie podobieństwa trójkątów do uzależnienia wysokości prostokąta od jego podstawy.
Przyjęcie, że pole jest zawsze równe połowie pola trójkąta.
Zapisanie pola jako funkcji kwadratowej zmiennej $x$ (podstawy prostokąta).
Założenie, że prostokąt musi być kwadratem.
Obliczenie pochodnej pola względem obwodu.

Zobacz odpowiedź

Wykorzystanie podobieństwa trójkątów do uzależnienia wysokości prostokąta od jego podstawy., Zapisanie pola jako funkcji kwadratowej zmiennej $x$ (podstawy prostokąta).

Z podobieństwa trójkątów $\frac{8-h}{x} = \frac{8}{10}$, co pozwala wyrazić $h$ przez $x$. Pole $P(x) = x \cdot h(x)$ jest funkcją kwadratową.

Spróbuj tego quizu →Podejdź do tego egzaminu →Powtórz te fiszki →Wykonaj tę pracę pisemną →

← Matematyka

↑ Matura

Zestly jest niezależnym narzędziem do nauki — nie jest powiązane z CKE, OKE, żadną szkołą ani uczelnią, nie jest przez nie zatwierdzone i nie jest ośrodkiem egzaminacyjnym. Wiążące są źródła oficjalne.