Probabilidad y variables aleatorias discretas

El bloque de Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II arranca con los axiomas de Kolmogorov —no negatividad, probabilidad del suceso seguro igual a 1, y aditividad para sucesos incompatibles— como fundamento formal de toda la teoría de probabilidad que se desarrolla después. Esta lección repasa estos axiomas junto con propiedades derivadas de uso constante: la probabilidad del suceso complementario (P(A^c) = 1 − P(A)) y la probabilidad de la intersección de sucesos independientes (P(A∩B) = P(A)·P(B)).

A partir de ahí se introduce la variable aleatoria discreta y su función de probabilidad, que debe cumplir dos condiciones: cada probabilidad individual no negativa y la suma total igual a 1. Se trabajan la esperanza matemática E[X] (el promedio ponderado de los valores posibles) y la varianza Var(X), calculable tanto por la fórmula de definición (suma de las desviaciones al cuadrado ponderadas) como por la fórmula computacional E[X²] − (E[X])², junto con la desviación típica como su raíz cuadrada.

El cuestionario combina preguntas teóricas sobre los axiomas y propiedades con ejercicios numéricos de cálculo de esperanza y varianza a partir de una tabla de valores y probabilidades. Las tarjetas de repaso recogen de forma compacta cada fórmula y axioma, un recurso útil para memorizar antes de abordar las distribuciones binomial y normal, que son casos particulares de variable aleatoria construidos sobre estos mismos fundamentos.

• Aplicar los axiomas de Kolmogorov y sus propiedades derivadas (complementario, sucesos independientes e incompatibles).
• Comprobar si una función de probabilidad es válida para una variable aleatoria discreta.
• Calcular la esperanza matemática E[X] de una variable aleatoria discreta.
• Calcular la varianza y la desviación típica de una variable aleatoria discreta por sus dos fórmulas equivalentes.
• Interpretar el significado de una varianza igual a cero.

"Si A y B son dos sucesos incompatibles, ¿cuál de las siguientes igualdades es siempre cierta según los axiomas de probabilidad?" — dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el conjunto vacío, P(A∩B) = 0; sustituyendo en la fórmula general de la unión, P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B), se obtiene directamente P(A∪B) = P(A) + P(B). "Considera una variable X que toma valores 0, 1, 2 con probabilidades 0.5, 0.3, 0.2. Su esperanza es E[X] = (0·0.5)+(1·0.3)+(2·0.2) = 0.7."