El plano en el espacio

Tras el estudio de la recta, el plano en el espacio tridimensional completa el bloque de objetos geométricos básicos de la Geometría Analítica en Matemáticas II, contenido evaluado sistemáticamente en la Selectividad/EBAU. Este cuestionario repasa las tres formas habituales de representar un plano —vectorial ($\vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$, con dos vectores directores linealmente independientes), paramétrica y general o implícita ($Ax+By+Cz+D=0$)— y la relación directa entre la ecuación general y el vector normal $\vec{n}=(A,B,C)$, cuyos coeficientes se leen directamente de la ecuación.

Se practica el reconocimiento de vectores normales proporcionales al vector de coeficientes original (cualquier múltiplo escalar es también un vector normal válido) y la obtención de la ecuación general de un plano a partir de tres puntos no alineados, verificando la pertenencia sustituyendo las coordenadas en la ecuación candidata.

Un bloque central distingue las posiciones relativas de dos planos a partir de sus vectores normales: si los normales son proporcionales, los planos son paralelos (distintos si los términos independientes no guardan la misma proporción, o coincidentes si sí la guardan); si no son proporcionales, los planos son secantes y se cortan en una recta. También se estudia la posición relativa entre una recta y un plano a través del producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano: si es distinto de cero, la recta es secante al plano; si es cero, la recta es paralela o está contenida en el plano.

Finalmente, se aborda el caso de la recta perpendicular a un plano, situación en la que el vector director de la recta resulta paralelo (linealmente dependiente) al vector normal del plano, así como las distintas formas válidas de determinar un plano de manera única: tres puntos no alineados, o un punto junto con un vector normal.

Con diez preguntas de cálculo directo y razonamiento conceptual, este test prepara al alumnado para abordar con seguridad los problemas de distancias y ángulos que constituyen la culminación del bloque de Geometría del espacio en el examen de acceso a la universidad.

• Obtener el vector normal de un plano a partir de su ecuación general y reconocer vectores normales proporcionales
• Determinar la ecuación general de un plano a partir de tres puntos no alineados
• Clasificar la posición relativa de dos planos (paralelos distintos, coincidentes o secantes) a partir de sus vectores normales
• Determinar la posición relativa entre una recta y un plano mediante el producto escalar del vector director y el vector normal
• Identificar las condiciones necesarias y suficientes para definir un plano de forma única en el espacio

Dado el plano de ecuación general 2x-y+3z-5=0, ¿cuáles de los siguientes vectores son normales al plano? El vector normal de un plano Ax+By+Cz+D=0 es n=(A,B,C). Cualquier vector proporcional a este también es normal. — Dados dos planos π1: x+y+z-1=0 y π2: x+y+z-2=0, sus vectores normales son iguales (1,1,1), por lo que son paralelos; como los términos independientes son distintos, son paralelos distintos, no coincidentes.