La recta en el espacio

La geometría de la recta en el espacio tridimensional abre el bloque de Geometría Analítica de Matemáticas II, un contenido con presencia fija en la prueba de Selectividad/EBAU. Este cuestionario repasa las cuatro formas habituales de representar una recta: la ecuación vectorial ($\vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{v}$), las ecuaciones paramétricas (una por coordenada), la ecuación continua (que iguala los tres cocientes $\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}$) y la ecuación implícita o general, obtenida como intersección de dos planos.

Se dedica especial atención al caso de la recta definida como intersección de dos planos: se exige que los vectores normales de ambos planos sean linealmente independientes (no paralelos) para que dicha intersección exista y sea efectivamente una recta, y se practica el cálculo del vector director de esa recta mediante el producto vectorial de los dos vectores normales —un procedimiento que aparece de forma recurrente en los problemas de Selectividad—.

El bloque central del cuestionario clasifica las cuatro posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el espacio: paralelas (vectores directores proporcionales, sin puntos comunes), coincidentes (vectores directores proporcionales, con todos los puntos comunes), secantes (vectores directores no proporcionales, con un punto común) y rectas que se cruzan (vectores directores no proporcionales y sin ningún punto común, situación que solo puede darse en tres dimensiones y que se caracteriza porque el rango de la matriz formada por ambos vectores directores y el vector que une un punto de cada recta es igual a 3).

También se practica la comprobación de pertenencia de un punto a una recta dada en forma continua, sustituyendo sus coordenadas y verificando que se obtiene el mismo valor del parámetro en los tres cocientes, así como la extracción directa del vector director a partir de las ecuaciones paramétricas.

Con diez preguntas que alternan cálculo directo y comprensión conceptual, este test constituye la base indispensable antes de abordar el estudio del plano, las distancias y los ángulos en el espacio, bloques que se apoyan directamente en el dominio fluido de la recta.

• Expresar la ecuación de una recta en sus formas vectorial, paramétrica, continua e implícita
• Calcular el vector director de una recta definida como intersección de dos planos mediante el producto vectorial de sus normales
• Determinar si un punto dado pertenece a una recta expresada en forma continua
• Clasificar la posición relativa de dos rectas en el espacio: paralelas, coincidentes, secantes o que se cruzan
• Extraer el vector director de una recta a partir de sus ecuaciones paramétricas

¿Qué vector director tiene la recta definida por la intersección de los planos x+y+z=1 y x-y=0? El vector director de la recta intersección es el producto vectorial de los vectores normales de los planos: n1=(1,1,1) y n2=(1,-1,0). El producto vectorial es (1,1,-2). — Dos rectas se cruzan en el espacio si sus vectores directores no son proporcionales y no tienen puntos en común, lo que implica rango 3 de la matriz de los tres vectores.