Sucesiones y límites de sucesiones

El estudio de sucesiones y sus límites conecta el álgebra de progresiones aprendida en cursos anteriores con el cálculo de límites de funciones de Matemáticas II, y constituye un contenido de apoyo esencial para entender la construcción rigurosa del número $e$ y de la derivada. Este cuestionario repasa la resolución de sucesiones definidas por recurrencia, como $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$, mediante la técnica del punto fijo: si se sabe que la sucesión es monótona y acotada (y por tanto convergente por el teorema de la convergencia monótona), su límite $L$ debe satisfacer la ecuación $L=\sqrt{2+L}$, que se resuelve algebraicamente.

Se practica el cálculo de límites de sucesiones racionales mediante la comparación de grados del numerador y denominador —análogo al caso de límites de funciones al infinito—, así como el reconocimiento de sucesiones convergentes (como $1/n^2\to 0$ o $2+1/n\to 2$) frente a sucesiones divergentes, ya sea porque tienden a infinito o porque oscilan sin estabilizarse.

Un bloque central trabaja el número $e$ como límite fundamental: $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$, y su generalización a expresiones ligeramente modificadas, como $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$, cuyo límite también es $e$ al descomponerse como producto de la sucesión fundamental por un factor que tiende a 1. Se incluyen también límites que requieren la técnica de racionalización (multiplicar y dividir por el conjugado), como $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$, cuyo límite es 0, y el límite de $\frac{n!}{n^n}$, que tiende a 0 porque el factorial crece mucho más lentamente que la potencia $n^n$.

Se repasan también las fórmulas de las progresiones aritméticas (suma de los primeros $n$ términos: $S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$) y geométricas, incluyendo el caso particular de la suma de una serie geométrica infinita con razón $|r|<1$: $S_\infty=\frac{a_1}{1-r}$, resultado que conecta directamente las progresiones con el concepto de convergencia de sucesiones.

Con diez preguntas de cálculo directo y razonamiento conceptual, este test consolida las herramientas de sucesiones y límites necesarias como base para el bloque de Análisis de la Selectividad/EBAU.

• Calcular el límite de una sucesión definida por recurrencia mediante la técnica del punto fijo
• Determinar si una sucesión es convergente o divergente y calcular su límite cuando exista
• Reconocer y aplicar el número e como límite fundamental de sucesiones del tipo (1+1/n)^n
• Calcular límites de sucesiones mediante racionalización y comparación de órdenes de crecimiento
• Aplicar las fórmulas de suma de progresiones aritméticas y geométricas, incluyendo series geométricas infinitas

Para la sucesión an=(1+1/n)^(n+1), su límite cuando n tiende a infinito es equivalente a lim (1+1/n)^n · (1+1/n), es decir, e · 1 = e. — Considere la sucesión an=√(n+1)-√n. Multiplicando por el conjugado (√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n) resulta en 1/(√(n+1)+√n), que tiende a 0.