Géométrie dans l'espace : vecteurs et produit scalaire

Cet examen de spécialité Mathématiques de Terminale porte sur la géométrie dans l'espace, un chapitre incontournable du programme : vecteurs, produit scalaire, plans et distances. Il couvre quatre exercices type bac : le calcul de la distance d'un point à un plan par la détermination du projeté orthogonal du point sur ce plan, la démonstration de l'orthogonalité de deux vecteurs par le calcul de leur produit scalaire, la détermination de l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal, et l'étude de l'orthogonalité de deux plans via leurs vecteurs normaux respectifs. Chaque exercice fournit toutes les coordonnées nécessaires et un corrigé détaillé avec le calcul étape par étape, dans l'esprit des exercices de géométrie analytique dans l'espace au programme du baccalauréat.

  • Calculer un produit scalaire dans l'espace à partir des coordonnées de deux vecteurs
  • Démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ou de deux plans par le produit scalaire
  • Déterminer une équation cartésienne de plan à partir d'un point et d'un vecteur normal
  • Calculer la distance d'un point à un plan à l'aide du projeté orthogonal du point sur ce plan

Programme de spécialité Mathématiques de Terminale : géométrie dans l'espace, vecteurs, produit scalaire, plans et distances.

Exemple de question

Calculez la distance du point $A(0; 1; 2)$ au plan $P$ d'équation $x + 2y - 2z + 1 = 0$ en déterminant le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $P$.

Voir la réponse

Le vecteur $\vec{n}(1; 2; -2)$ est normal à $P$. La droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$ a pour représentation paramétrique $x = t$, $y = 1 + 2t$, $z = 2 - 2t$ ($t \in \mathbb{R}$). Son point d'intersection $H$ avec $P$ vérifie $t + 2(1 + 2t) - 2(2 - 2t) + 1 = 0$, soit $9t - 1 = 0$, donc $t = \frac{1}{9}$ et $H\left(\frac{1}{9}; \frac{11}{9}; \frac{16}{9}\right)$. $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $P$, donc $d(A, P) = AH = \|t\,\vec{n}\| = \frac{1}{9} \times \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3}$.

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