Okrąg wpisany i opisany na trójkącie

Okrąg wpisany w trójkąt i okrąg opisany na trójkącie to temat, który łączy planimetrię z algebrą — wymaga sprawnego posługiwania się wzorami na pole i obwód trójkąta. Ta lekcja porządkuje definicje obu okręgów oraz wzory na ich promienie w najważniejszych szczególnych przypadkach: trójkącie równobocznym i prostokątnym.

Materiał wyjaśnia, że środek okręgu wpisanego (incentrum) to punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta, a środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków — i pokazuje ogólny wzór na promień okręgu wpisanego $$\begin{gathered} r= \\ fracPs \end{gathered}$$, gdzie $s$ to połowa obwodu trójkąta. Szczególną uwagę poświęcono trójkątowi prostokątnemu, gdzie promień okręgu wpisanego wyraża się prostym wzorem $$\begin{gathered} r= \\ fraca+b-c2 \end{gathered}$$, a promień okręgu opisanego to połowa przeciwprostokątnej — oraz trójkątowi równobocznemu, gdzie promienie obu okręgów są ściśle powiązane z wysokością trójkąta (zależność $R=2r$, szczególny przypadek twierdzenia Eulera).

Zestaw 11 pytań testowych obejmuje zarówno zadania teoretyczne o własnościach obu okręgów, jak i zadania rachunkowe z konkretnymi trójkątami prostokątnymi i równobocznymi. Każda odpowiedź ma pełne wyjaśnienie, a dołączone fiszki zbierają wszystkie wzory na promienie w jednym miejscu.

Lekcja jest przeznaczona dla uczniów przygotowujących się do matury podstawowej z matematyki, dla których pewne opanowanie okręgów w trójkącie jest ważnym elementem planimetrii sprawdzanym regularnie na egzaminie.

• Rozróżniasz środek okręgu wpisanego (incentrum) od środka okręgu opisanego na trójkącie
• Stosujesz ogólny wzór na promień okręgu wpisanego $r = \frac{P}{s}$
• Obliczasz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wzorem $r = \frac{a+b-c}{2}$
• Wyznaczasz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jako połowę przeciwprostokątnej
• Stosujesz wzory na promienie okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie równobocznym
• Rozpoznajesz zależność $R=2r$ między promieniami w trójkącie równobocznym

Materiał obejmuje podstawowy zakres matury z matematyki: okrąg wpisany w trójkąt i okrąg opisany na trójkącie, promień okręgu wpisanego, promień okręgu opisanego oraz wzory na promienie w trójkącie równobocznym i prostokątnym.