La convexité d'une fonction

Ce quiz de spécialité Mathématiques de Terminale porte sur la convexité des fonctions. Il couvre la définition géométrique de la convexité et de la concavité, le lien entre convexité et signe de la dérivée seconde, la notion de point d'inflexion, et des exemples classiques de fonctions convexes ou concaves (exponentielle, logarithme, carré).

Définir la convexité et la concavité d'une fonction
Relier convexité et signe de la dérivée seconde
Identifier un point d'inflexion
Reconnaître des fonctions convexes ou concaves classiques

Programme de spécialité Mathématiques de Terminale : convexité d'une fonction.

Exemple de question

Courbe en creux dans un repère, avec la tangente tracée en un point marqué ; la courbe reste au-dessus de cette tangente.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, convexe sur $I$ ; sa courbe est représentée ci-dessous avec l'une de ses tangentes. Quel est le lien entre la convexité de $f$ et sa dérivée seconde $f''$ ?

$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.
$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$.
$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.
$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.

Voir la réponse

$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.

Le signe de la dérivée seconde est le critère analytique principal : une fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive ou nulle.

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