ОГЭ по математике: задание 20 — системы уравнений и дробно-рациональные уравнения

Материал посвящён заданию 20 — первому заданию второй части ОГЭ по математике 2026 года. В спецификации экзаменационной работы это задание повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом, оцениваемое в 2 балла; оно проверяет умение решать уравнения, неравенства и их системы и опирается на элементы кодификатора 2 «Алгебраические выражения» и 3 «Уравнения и неравенства», прежде всего 3.1 «Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений», а также 2.3 «Многочлены» и 2.4 «Алгебраическая дробь».

Задание 20 редко сводится к одному квадратному уравнению: обычно нужно сначала увидеть приём. Поэтому материал собран вокруг типичных ходов решения. Биквадратные уравнения тренируют замену $t=x^2$ и отбор неотрицательных значений. Уравнения третьей степени решаются группировкой и разложением на множители — и здесь важно не делить обе части на выражение с переменной. Дробно-рациональные уравнения требуют записать область допустимых значений и исключить посторонние корни, в том числе в ситуации, когда единственный найденный корень оказывается посторонним и уравнение не имеет решений. Отдельно разобрана замена повторяющегося выражения, например $t=x^2+x$.

Вторая половина материала — системы уравнений: подстановка, сложение уравнений, системы вида $x+y=a$, $xy=b$, системы с суммой квадратов и системы, где одно уравнение — произведение, равное нулю, а второе дробное. В последних решение распадается на случаи, и в каждом нужно проверить знаменатель: именно на этом шаге чаще всего теряют балл.

Квиз из 12 вопросов проверяет готовый ответ и отбор корней, карточки собирают алгоритмы, а восемь письменных задач повторяют формат второй части: полное решение на бумаге с обоснованием каждого шага. Экзамен в формате диалога предлагает задачи по одной и просит показать ход решения. Все задачи составлены заново по образцу экзаменационного формата и не копируют открытый банк заданий.

Порядок работы с материалом простой: сначала пройдите квиз и посмотрите разборы тех вопросов, где ответ не совпал, затем повторите алгоритмы по карточкам и только после этого решайте письменные задачи, записывая решение так, как его ждут эксперты: ОДЗ, преобразования, отбор корней, ответ. Такой порядок помогает отделить незнание приёма от вычислительной ошибки и понять, на каком шаге решения чаще всего теряется балл.

• Решать биквадратные уравнения заменой $t = x^2$ с отбором $t \ge 0$
• Раскладывать многочлен третьей степени на множители группировкой, не теряя корней
• Решать дробно-рациональные уравнения с учётом ОДЗ и исключать посторонние корни
• Применять замену переменной для повторяющегося выражения
• Решать нелинейные системы подстановкой и сложением
• Разбирать систему с произведением, равным нулю, на случаи и проверять знаменатель

Кодификатор ОГЭ 2026 по математике: 3.1 «Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений», 2.3 «Многочлены», 2.4 «Алгебраическая дробь». Спецификация 2026: задание 20 — повышенный уровень, развёрнутый ответ, 2 балла.