ОГЭ по математике: задание 22 — графики с выколотыми точками и параметр

Материал готовит к заданию 22 второй части ОГЭ по математике 2026 года. По спецификации это задание повышенного уровня с развёрнутым ответом, оно оценивается двумя баллами и проверяет умение строить графики функций и использовать их для исследования зависимостей. В кодификаторе задание опирается на раздел 5.1 «Функция, график функции, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения» и на раздел 2.4 «Алгебраическая дробь». Полный балл ставится, если график построен верно и верно найдены все значения параметра; при верном графике и ошибке в параметре ставится один балл.

В материале разобраны три типа функций, которые встречаются в этой линии. Первый — дробно-рациональные функции, которые после сокращения превращаются в прямую или параболу с одной или двумя выколотыми точками; ключевой момент — найти область определения и ординату выколотой точки по упрощённой формуле. Второй — функции с модулем, где модуль раскрывается отдельно на двух промежутках, а график собирается из частей парабол. Третий — кусочно-заданные функции, где важно, какому куску принадлежит граничная точка.

Вопросы квиза тренируют именно анализ параметра: при каких m горизонтальная прямая не имеет общих точек с графиком, имеет ровно одну или ровно три общие точки; при каких k прямая y = kx проходит через выколотую точку или не пересекает график. Отдельно отрабатываются типичные ловушки: прямая, проходящая через выколотую точку, теряет общую точку; параллельная прямая не имеет общих точек вовсе; у граничной точки кусочной функции значение берётся только из одного куска. Каждое объяснение содержит полный ход решения — область определения, упрощение, описание графика и перебор значений параметра.

Письменная часть состоит из восьми задач в формате второй части: «постройте график функции и определите, при каких значениях m…», с эталонным решением и ключевыми шагами, по которым проверяется работа. Карточки собирают опорные факты: выколотая точка, раскрытие модуля, вершина параболы, приём перебора горизонтальных прямых. В устном режиме экзаменатор даёт задачи по одной, просит описать график словами и назвать ответ, а в конце кратко разбирает ошибки. Задания составлены самостоятельно по образцу формата экзамена и не копируют открытый банк заданий и демонстрационный вариант.

  • Находить область определения и выколотые точки дробно-рациональной функции
  • Раскрывать модуль и строить график по частям
  • Строить кусочно-заданные функции с учётом принадлежности граничной точки
  • Находить значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком заданное число общих точек
  • Находить значения k для прямой y = kx с учётом выколотых точек и параллельности

Спецификация ОГЭ 2026, задание 22 (повышенный уровень, 2 балла, развёрнутый ответ): умение строить графики функций и использовать графики для исследования зависимостей. Критерии: 2 балла — график построен верно и верно найдены значения параметра; 1 балл — график верен, параметр найден неверно. Кодификатор 2026: 5.1, 2.4.

Пример вопроса

Дана функция $y=\frac{x^4-1}{x^2-1}$. При каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с её графиком ни одной общей точки?

Показать ответ

$m<1$ и $m=2$

Область определения: $x^2\ne1$, то есть $x\ne\pm1$. При этих $x$: $y=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}=x^2+1$. График — парабола с вершиной $(0;1)$ без двух точек $(-1;2)$ и $(1;2)$. При $m<1$ общих точек нет; при $m=1$ одна (вершина); при $1<m<2$ и $m>2$ — две; при $m=2$ обе точки пересечения выколоты — общих точек нет. Ответ: $m<1$ и $m=2$.

← Математика

↑ ОГЭ