Aplicaciones de la derivada: crecimiento, decrecimiento y optimización

Las aplicaciones de la derivada constituyen uno de los bloques con mayor peso en la prueba de Selectividad/EBAU de Matemáticas II, ya que combinan cálculo diferencial con razonamiento aplicado a problemas de la vida real. Este cuestionario repasa el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de la primera derivada, la determinación de máximos y mínimos relativos mediante los criterios de la primera y la segunda derivada, y el análisis de la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión a través del signo de la segunda derivada.

Se dedica especial atención a la distinción entre punto crítico y extremo relativo: un punto crítico (donde f'(x)=0 o no existe) no siempre es un extremo, como ilustra el clásico contraejemplo $f(x)=x^3$ en x=0, donde la derivada se anula pero no hay ni máximo ni mínimo. También se trabaja el criterio de la segunda derivada, que permite clasificar un punto crítico como máximo (f''(c)<0) o mínimo (f''(c)>0) sin necesidad de estudiar el cambio de signo de la primera derivada.

El bloque de optimización, uno de los más temidos por el alumnado, se aborda con dos problemas clásicos de Selectividad: la minimización de una función de coste de la forma $C(x)=x^2+100/x$, que requiere derivar, igualar a cero y resolver una ecuación cúbica, y la maximización del área de un rectángulo con perímetro fijo, cuya solución —sorprendentemente para muchos estudiantes— es siempre un cuadrado.

Finalmente, se incluye una pregunta sobre el número máximo de puntos de inflexión que puede tener un polinomio de grado 3, conectando el concepto con el grado de la segunda derivada, un razonamiento que también resulta útil para acotar el número de extremos relativos de cualquier función polinómica.

Con preguntas de cálculo directo y de comprensión conceptual, este test prepara al alumnado para abordar con seguridad los problemas de optimización que constituyen una parte sustancial de la calificación en el bloque de Análisis de la prueba de acceso a la universidad.

• Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su primera derivada
• Clasificar puntos críticos como máximos o mínimos relativos mediante el criterio de la segunda derivada
• Identificar puntos de inflexión verificando el cambio de signo de la segunda derivada
• Resolver problemas de optimización de costes y áreas planteando y derivando la función objetivo
• Relacionar el grado de un polinomio con el número máximo de puntos de inflexión que puede presentar

En un problema de optimización donde se desea minimizar el coste $C(x) = x^2 + \frac{100}{x}$, ¿cuál es el valor de x que minimiza el coste? Derivamos C'(x) = 2x - 100x⁻². Igualando a cero: 2x = 100/x², por tanto x³ = 50, de donde x = ∛50. — En un problema de optimización para maximizar el área de un rectángulo con perímetro fijo P, si 2x+2y=P, el área A=x(P/2-x). A'=P/2-2x=0, x=P/4, y=P/4: es un cuadrado.