Distancias, ángulos y posiciones relativas en el espacio

Este cuestionario cierra el bloque de Geometría Analítica del espacio de Matemáticas II integrando el cálculo de distancias y ángulos entre los elementos ya estudiados —puntos, rectas y planos—, contenido que en la Selectividad/EBAU suele aparecer como el apartado final y de mayor dificultad de los problemas de geometría del espacio.

Se repasa la distancia euclidiana entre dos puntos mediante la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de coordenadas, y la distancia de un punto a un plano, calculada sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación general del plano, tomando el valor absoluto del resultado y dividiendo entre el módulo del vector normal. También se practica la distancia de un punto a una recta, que requiere el producto vectorial entre el vector que une un punto de la recta con el punto exterior y el vector director de la recta, dividido entre el módulo de este último.

Un contenido especialmente exigente es la distancia entre dos rectas que se cruzan, calculada mediante el producto mixto de tres vectores (el que une un punto de cada recta y los dos vectores directores) dividido entre el módulo del producto vectorial de dichos vectores directores —fórmula que combina prácticamente todas las herramientas de álgebra vectorial estudiadas previamente—.

En cuanto a ángulos, se trabaja el ángulo entre dos rectas mediante el coseno del valor absoluto del producto escalar de sus vectores directores (el valor absoluto garantiza obtener siempre el ángulo agudo), el ángulo entre dos planos a partir del producto escalar de sus vectores normales, y el caso particular del ángulo entre una recta y un plano, que se calcula mediante el seno (no el coseno) por tratarse del ángulo complementario entre la dirección de la recta y la normal del plano. Se incluyen también los casos especiales de perpendicularidad: planos perpendiculares cuando el producto escalar de sus normales es cero, y recta paralela a un plano cuando el producto escalar del vector director y la normal es cero.

Con diez preguntas que combinan fórmulas y razonamiento geométrico, este test consolida las herramientas necesarias para resolver con seguridad los problemas más completos de Geometría del espacio del examen de acceso a la universidad.

• Calcular la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta y de un punto a un plano en el espacio
• Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan mediante el producto mixto y el producto vectorial
• Determinar el ángulo entre dos rectas a partir del valor absoluto del producto escalar de sus vectores directores
• Determinar el ángulo entre dos planos y entre una recta y un plano usando coseno y seno respectivamente
• Identificar las condiciones de perpendicularidad entre planos, y entre rectas y planos, a partir de productos escalares nulos

La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula mediante una fórmula que involucra un producto mixto: el valor absoluto del producto mixto dividido entre el módulo del producto vectorial de los vectores directores. — Si tenemos un plano π con vector normal n y una recta r con vector director v, el ángulo entre ellos se calcula mediante el seno, ya que es el complementario del ángulo entre la dirección de la recta y la normal del plano.