Hacer este Test: Distancias, ángulos y posiciones relativas en el espacio | Zestly

Question 1

Dados dos puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$ en el espacio tridimensional, ¿cuál es la expresión correcta para calcular la distancia euclidiana $d(A, B)$?

Accepted Answer

$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Answer

$\sqrt{(x_2+x_1)^2 + (y_2+y_1)^2 + (z_2+z_1)^2}$

Answer

$\sqrt{|x_2-x_1| + |y_2-y_1| + |z_2-z_1|}$

Answer

$\sqrt{(x_2-x_1) + (y_2-y_1) + (z_2-z_1)}$

Question 2

Para determinar la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, ¿cuál de las siguientes fórmulas es la correcta?

Accepted Answer

$\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Answer

$\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Answer

$\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{A+B+C}$

Answer

$\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Question 3

Sean dos rectas $r$ y $s$ con vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ respectivamente. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que el ángulo $\alpha$ entre ellas se calcule mediante $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$?

Accepted Answer

El ángulo resultante es el ángulo agudo entre las rectas.

Accepted Answer

Se utiliza el valor absoluto del producto escalar para asegurar que el coseno sea positivo.

Answer

El ángulo resultante es siempre el ángulo obtuso.

Answer

El ángulo es el formado por los vectores directores sin considerar el valor absoluto.

Question 4

La distancia entre dos rectas que se cruzan $r$ (punto $A$, vector $\vec{u}$) y $s$ (punto $B$, vector $\vec{v}$) se calcula mediante una fórmula que involucra un producto mixto. ¿Cuáles de los siguientes elementos forman parte de dicha fórmula?

Answer

El valor absoluto del producto mixto $[\vec{AB}, \vec{u}, \vec{v}]$.

Answer

El producto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en el numerador.

Answer

El módulo del producto vectorial $|\vec{u} 	imes \vec{v}|$ en el denominador.

Answer

La suma de los módulos $|\vec{u}| + |\vec{v}|$ en el denominador.

Question 5

Si tenemos un plano $\pi$ con vector normal $\vec{n}$ y una recta $r$ con vector director $\vec{v}$, ¿cuál es la relación trigonométrica para hallar el ángulo $\alpha$ entre ellos?

Answer

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| |\vec{v}|}$

Answer

$	an(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n} 	imes \vec{v}|}$

Answer

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| |\vec{v}|}$

Answer

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} 	imes \vec{v}|}{|\vec{n}| |\vec{v}|}$