Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi sono funzioni tra loro inverse, fondamentali per modellare fenomeni di crescita e decadimento (popolazioni, radioattività, interesse composto) e per risolvere equazioni che le equazioni algebriche da sole non possono affrontare. Questo quiz di ripasso copre entrambe le funzioni, le loro proprietà e la risoluzione di equazioni e disequazioni.

Si parte dalla funzione esponenziale $a^x$ (con $a>0$, $a\mathrm{\ne }1$), definita su tutto $\mathbb{R}$: se $a>1$ è strettamente crescente, se $0<a<1$ è strettamente decrescente. Vengono ripassate le proprietà delle potenze, in particolare $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$, indispensabile per risolvere equazioni esponenziali riconducibili alla stessa base.

La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale: $y=a^x⟺x={\log }_a(y)$. Il quiz copre le sue proprietà fondamentali — il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi, quello di un quoziente è la differenza, quello di una potenza si porta a moltiplicatore — e la formula del cambio di base ${\log }_a(b)=\frac{{\log }_c(b)}{{\log }_c(a)}$, utile per calcolare un logaritmo con una calcolatrice che conosce solo log in base 10 o e. Vengono distinti il logaritmo decimale (base 10) e quello naturale $\ln (x)$ (base $e$).

La parte finale affronta la risoluzione di equazioni esponenziali: quando le basi non sono direttamente confrontabili (come $3^x=5$), è necessario ricorrere ai logaritmi, mentre nelle disequazioni esponenziali e logaritmiche occorre prestare particolare attenzione al verso della disuguaglianza, che si inverte quando la base è compresa tra 0 e 1. Il quiz include anche la condizione di esistenza fondamentale delle equazioni logaritmiche: l'argomento deve essere sempre strettamente positivo.

Ogni domanda è autonoma e contiene già l'espressione da analizzare direttamente nel proprio testo.

• Descrivere dominio e andamento (crescente/decrescente) della funzione esponenziale a seconda della base
• Applicare le proprietà delle potenze e dei logaritmi (prodotto, quoziente, potenza, cambio di base)
• Distinguere logaritmo decimale e logaritmo naturale
• Riconoscere quando un'equazione esponenziale richiede l'uso dei logaritmi per essere risolta
• Determinare la condizione di esistenza di un'equazione logaritmica
• Risolvere disequazioni esponenziali e logaritmiche, gestendo correttamente l'inversione del verso con base minore di 1

Quiz di ripasso su esponenziali e logaritmi per il liceo: funzione esponenziale (dominio, andamento), proprietà dei logaritmi (prodotto, quoziente, potenza, cambio di base), equazioni esponenziali e logaritmiche, disequazioni con inversione del verso.