Le equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono uno degli argomenti cardine dell'algebra del biennio e la base per capire parabole, disequazioni di secondo grado e molti problemi di geometria analitica affrontati negli anni successivi. Questo quiz di ripasso copre tutta la teoria e i casi tipici che possono presentarsi in un compito o in un esercizio dell'esame di maturità.

Si parte dalla forma normale $a{x}^2+bx+c=0$ e dalla formula risolutiva $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, con particolare attenzione al discriminante $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ e al suo significato: $\mathrm{\Delta }>0$ indica due radici reali distinte, $\mathrm{\Delta }=0$ due radici coincidenti, $\mathrm{\Delta }<0$ nessuna radice reale. Il quiz chiede di calcolare il discriminante in casi concreti e di dedurne la natura delle radici, ma anche di determinare il valore di un parametro affinché un'equazione abbia radici coincidenti — un classico esercizio "al contrario".

Ampio spazio è dato alle equazioni incomplete: l'equazione pura $a{x}^2+c=0$ (risolta isolando $x^2$ e ricordando sempre il doppio segno della radice), l'equazione spuria $a{x}^2+bx=0$ (risolta raccogliendo $x$ a fattor comune, con una radice sempre nulla) e l'equazione monomia $a{x}^2=0$ (con l'unica soluzione $x=0$).

Un blocco importante riguarda le relazioni tra coefficienti e radici: la somma $x_1+x_2=-b\mathrm{/}a$ e il prodotto $x_1\cdot x_2=c\mathrm{/}a$, strumenti utili sia per verificare rapidamente le soluzioni trovate sia per scomporre un trinomio come $a(x-x_1)(x-x_2)$ conoscendo le sue radici. Infine, il quiz introduce un accenno alle equazioni frazionarie di secondo grado, con l'importanza di porre le condizioni di esistenza prima di risolvere.

Ogni domanda contiene l'equazione da risolvere direttamente nel testo, così da poter essere utilizzata anche come esercizio singolo di ripasso rapido.

• Applicare la formula risolutiva e calcolare il discriminante di un'equazione di secondo grado
• Determinare la natura delle radici (distinte, coincidenti, nessuna reale) a partire dal segno del discriminante
• Risolvere equazioni incomplete: pure, spurie e monomie
• Usare le relazioni tra coefficienti e radici (somma e prodotto) per verificare o costruire soluzioni
• Scomporre un trinomio di secondo grado a partire dalle sue radici
• Determinare il valore di un parametro che rende un'equazione a discriminante nullo (radici coincidenti)
• Riconoscere le condizioni di esistenza di un'equazione frazionaria di secondo grado

Ripasso dei prerequisiti del biennio, utili per la maturità, sulle equazioni di secondo grado: forma normale, formula risolutiva, discriminante e natura delle radici, equazioni pure/spurie/monomie, relazioni tra coefficienti e radici, scomposizione del trinomio e cenni alle equazioni frazionarie.