Limiti e continuità

Limiti e continuità aprono l'analisi matematica del triennio e forniscono gli strumenti concettuali per studiare il comportamento di una funzione vicino a un punto o all'infinito — la base indispensabile per affrontare derivate e studio di funzione. Questo quiz di ripasso copre le tecniche di calcolo dei limiti, la classificazione delle discontinuità e i principali teoremi sulle funzioni continue.

Si parte dal calcolo dei limiti in presenza di forme indeterminate: la forma $\frac{0}{0}$ si affronta tipicamente scomponendo in fattori (come nel classico caso $\frac{x^2-4}{x-2}$, dove il fattore che si annulla si semplifica), mentre la forma $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ per funzioni razionali si risolve raccogliendo la potenza di grado massimo sia al numeratore che al denominatore. Il quiz include anche il limite notevole fondamentale ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e un richiamo al confronto tra infiniti, dove la crescita esponenziale domina sempre quella polinomiale.

Un blocco importante riguarda gli asintoti: verticali (quando il limite tende a infinito per $x$ che tende a un valore finito), orizzontali (quando il limite all'infinito è un valore finito $k$, calcolato per funzioni razionali come rapporto tra i coefficienti direttivi quando i gradi coincidono) e la loro individuazione a partire da funzioni razionali concrete.

La parte finale è dedicata alla continuità: la definizione formale richiede che il limite in un punto coincida con il valore della funzione in quel punto, e il quiz distingue le discontinuità eliminabili (il limite esiste finito ma la funzione non è definita nel punto o vi assume un valore diverso) da quelle di seconda specie (almeno uno dei limiti destro e sinistro è infinito o non esiste). Infine, vengono ripassati due teoremi fondamentali sulle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: il teorema di Weierstrass (esistenza di massimo e minimo assoluti) e il teorema degli zeri.

Ogni domanda contiene già la funzione o il limite da analizzare direttamente nel proprio testo.

• Calcolare limiti che presentano forme indeterminate 0/0 tramite scomposizione in fattori
• Calcolare limiti all'infinito di funzioni razionali tramite raccoglimento del grado massimo
• Determinare asintoti verticali e orizzontali di una funzione razionale
• Classificare i punti di discontinuità di una funzione (eliminabile, seconda specie)
• Verificare la continuità di una funzione in un punto secondo la definizione formale
• Enunciare e applicare il teorema di Weierstrass sulle funzioni continue

Quiz di ripasso su limiti e continuità per il triennio del liceo: forme indeterminate e tecniche di calcolo, limiti notevoli, confronto tra infiniti, asintoti verticali/orizzontali, classificazione delle discontinuità e il teorema di Weierstrass.