Logarytmy — własności i równania logarytmiczne

Logarytmy są jednym z tematów, które na maturze rozszerzonej łączą się niemal z każdym innym działem — od równań, przez funkcje, po zadania z parametrem. Ta lekcja porządkuje definicję logarytmu oraz wszystkie własności działań na logarytmach, które pozwalają sprawnie przekształcać wyrażenia i rozwiązywać równania logarytmiczne.

Materiał wyjaśnia definicję $$\begin{gathered} lo{g}_{a}b=c \\ iff{a}^c=b \end{gathered}$$ wraz z warunkami $a>0$, $$\begin{gathered} a \\ neq1 \end{gathered}$$, $b>0$, a następnie prowadzi przez własności logarytmu iloczynu, ilorazu i potęgi oraz wzór na zmianę podstawy logarytmu — narzędzie niezbędne do porównywania i upraszczania wyrażeń logarytmicznych o różnych podstawach. Osobna grupa pytań dotyczy tożsamości logarytmicznej $$\begin{gathered} a^{ \\ lo{g}_{a}b}=b \end{gathered}$$ oraz logarytmu dziesiętnego i naturalnego.

Szczególną uwagę poświęcono rozwiązywaniu równań logarytmicznych z zachowaniem dziedziny — zadania pokazują, że przed podaniem rozwiązania trzeba zawsze sprawdzić, czy spełnia ono warunki na argument logarytmu oraz na podstawę (przy równaniach typu $lo{g}_{x}y=z$). Zestaw 11 pytań testowych obejmuje zarówno proste obliczenia wartości logarytmów, jak i zadania porównawcze i równania wymagające analizy dziedziny, każde z pełnym wyjaśnieniem. Dołączone fiszki zbierają wszystkie wzory w jednym miejscu do szybkiego powtórzenia.

Lekcja jest przeznaczona dla uczniów przygotowujących się do matury rozszerzonej z matematyki, dla których biegłe posługiwanie się logarytmami jest niezbędne przy funkcji logarytmicznej, równaniach wykładniczych i zadaniach z pochodną.

• Znasz definicję logarytmu i warunki, jakie muszą spełniać podstawa i argument
• Stosujesz własności logarytmu iloczynu, ilorazu i potęgi do przekształcania wyrażeń
• Używasz wzoru na zmianę podstawy logarytmu do porównywania wartości
• Obliczasz wartości logarytmów bez użycia kalkulatora, sprowadzając je do wspólnej podstawy
• Rozwiązujesz proste równania logarytmiczne, uwzględniając dziedzinę
• Stosujesz tożsamość logarytmiczną $a^{\log_a b}=b$

Materiał obejmuje rozszerzony zakres matury z matematyki: definicja logarytmu, własności logarytmu iloczynu, ilorazu i potęgi, wzór na zmianę podstawy logarytmu oraz rozwiązywanie prostych równań logarytmicznych z uwzględnieniem dziedziny.