Estudio y representación de funciones

Este material trabaja el estudio completo de una función con límites y derivadas, un problema de análisis que aparece con frecuencia en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. El currículo de 2º de Bachillerato (Real Decreto 243/2022) pide aplicar los conceptos de límite y derivada a la representación y al estudio de situaciones modelizadas por funciones, y usar la derivada en problemas de optimización en contextos diversos.

Repasarás el dominio de polinomios y funciones racionales, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas verticales y horizontales, con el cálculo de los límites laterales. Con el signo de la primera derivada determinarás los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos; con la segunda derivada, la curvatura y los puntos de inflexión. Para evitar ambigüedades, la curvatura se describe siempre como «hacia arriba (∪)» o «hacia abajo (∩)».

Se insiste en los errores típicos: suponer que $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ basta para que haya un extremo, olvidar comparar con los extremos del intervalo al buscar máximos y mínimos absolutos, o confundir el coste medio con el coste total. También aprenderás a deducir el comportamiento de una función a partir de la expresión de su derivada, a estudiar la continuidad de una función a trozos con un parámetro y a hallar coeficientes que hagan que la función tenga un extremo dado.

La optimización se plantea en contextos económicos y sociales: beneficio máximo a partir del precio y los costes, gasto en publicidad, coste medio mínimo y su relación con el coste marginal, y evolución de las ventas de una tienda a lo largo de varios meses.

Formatos disponibles: un cuestionario de 12 preguntas con explicación de cada respuesta, tarjetas de memoria con los criterios básicos, y una hoja de trabajo escrito con 8 problemas de desarrollo al estilo de un examen (estudios completos, funciones racionales y a trozos, optimización) que puedes imprimir, resolver a mano y enviar para su corrección.

Los ejercicios son originales y sirven como práctica; los modelos de examen de referencia son los de la comisión organizadora de la PAU de tu comunidad.

• Calcular dominio, cortes con los ejes y asíntotas de funciones polinómicas y racionales.
• Determinar intervalos de monotonía y extremos relativos con la primera y la segunda derivada.
• Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión.
• Estudiar la continuidad de una función a trozos con un parámetro.
• Resolver problemas de optimización en contextos económicos y sociales, incluidos máximos y mínimos absolutos en un intervalo.

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Real Decreto 243/2022, bloque «Sentido de la medida. Cambio»).