Intervalos de confianza y tamaño muestral: problemas resueltos

Este material complementa el estudio teórico de la estimación con problemas numéricos completos de intervalos de confianza, uno de los ejercicios de inferencia habituales en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. El currículo de 2º de Bachillerato (Real Decreto 243/2022) incluye la estimación de la media y de la proporción y los intervalos de confianza basados en la distribución normal, con su construcción, su análisis y la toma de decisiones en situaciones contextualizadas.

Construirás intervalos para la media de una población con desviación típica conocida, $\bar{x}\pm z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma \mathrm{/}\sqrt{n}$, y para una proporción, $\widehat{p}\pm z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{\widehat{p}(1-\widehat{p})\mathrm{/}n}$, usando los valores críticos de los niveles de confianza del 90 %, 95 % y 99 %. Practicarás el cálculo del error máximo admisible y del tamaño muestral mínimo, siempre redondeando hacia arriba, con información previa sobre la proporción o sin ella.

También trabajarás el camino inverso: a partir de un intervalo ya calculado, obtener la media muestral (su centro), el error (su semiamplitud), la desviación típica de la población o el nivel de confianza que se usó. Verás cómo cambia el intervalo al modificar la confianza o el tamaño de la muestra, y por qué para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.

Por último, se aplican los intervalos a la toma de decisiones: comprobar si un valor anunciado es compatible con los datos, decidir si una encuesta permite hablar de mayoría y entender que la conclusión puede depender del nivel de confianza elegido. Se insiste en la interpretación correcta del nivel de confianza, que se refiere al método y no a los individuos.

Formatos disponibles: un cuestionario de 12 preguntas con explicación de cada respuesta, tarjetas de memoria con fórmulas y valores críticos, y una hoja de trabajo escrito con 8 problemas de desarrollo al estilo de un examen que puedes imprimir, resolver a mano y enviar para su corrección.

Los ejercicios son originales y usan coma decimal; los modelos de examen de referencia son los de la comisión organizadora de la PAU de tu comunidad.

• Construir intervalos de confianza para la media con σ conocida y para la proporción.
• Calcular el error máximo admisible y el tamaño muestral mínimo.
• Recuperar la media muestral, el error, σ o el nivel de confianza a partir de un intervalo.
• Analizar el efecto del nivel de confianza y del tamaño de la muestra en la amplitud.
• Decidir si un valor afirmado es compatible con un intervalo e interpretar correctamente el nivel de confianza.

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Real Decreto 243/2022, bloque «Sentido estocástico. Inferencia»).