Probabilidad condicionada, probabilidad total y teorema de Bayes

Este material prepara uno de los ejercicios más habituales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos. El currículo de 2º de Bachillerato (Real Decreto 243/2022) incluye de forma explícita la probabilidad condicionada, la independencia de sucesos, los diagramas de árbol y las tablas de contingencia, y los teoremas de la probabilidad total y de Bayes aplicados a la toma de decisiones con incertidumbre.

Practicarás la definición $P(A\mathrm{\mid }B)=P(A\cap B)\mathrm{/}P(B)$ y la regla del producto, y aprenderás a leer una tabla de contingencia distinguiendo probabilidades conjuntas, marginales y condicionadas, uno de los errores más frecuentes en los exámenes. Verás cuándo dos sucesos son independientes, por qué no hay que confundirlos con sucesos incompatibles y cómo comprobarlo con datos.

Una parte importante del material se dedica a los problemas en dos etapas, que se resuelven con un diagrama de árbol: piezas fabricadas por varias máquinas, paquetes de distintas empresas de mensajería, urnas elegidas con un dado, extracciones sin reemplazamiento. Con el teorema de la probabilidad total calcularás la probabilidad de un resultado, y con el teorema de Bayes la probabilidad de cada causa una vez conocido ese resultado.

También se trabaja la interpretación: qué significan la probabilidad a priori y la probabilidad a posteriori, y por qué en una prueba diagnóstica de una enfermedad poco frecuente muchos positivos son falsos positivos aunque la prueba sea buena.

Formatos disponibles: un cuestionario de 12 preguntas con la explicación de cada respuesta, tarjetas de memoria con las definiciones y fórmulas clave, y una hoja de trabajo escrito con 8 problemas de desarrollo al estilo de un examen (árboles, tablas, independencia, pruebas diagnósticas) para imprimir, resolver a mano y enviar para su corrección.

Todos los problemas son originales y los resultados se dan con coma decimal. Es un recurso de práctica: los modelos de examen de referencia son los que publica la comisión organizadora de la PAU de cada comunidad.

• Calcular probabilidades condicionadas y usar la regla del producto.
• Obtener probabilidades conjuntas, marginales y condicionadas a partir de una tabla de contingencia.
• Distinguir sucesos independientes de sucesos incompatibles y comprobar la independencia con datos.
• Aplicar el teorema de la probabilidad total con un diagrama de árbol.
• Aplicar el teorema de Bayes e interpretar la probabilidad a posteriori.

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Real Decreto 243/2022, bloque «Sentido estocástico. Incertidumbre»).