Continuidad y derivabilidad de funciones a trozos con parámetros

Pocas preguntas son tan previsibles en la parte de análisis de Matemáticas II como esta: «halla los valores de a y b para que la función sea continua y derivable». Este material te prepara para resolverla con método y para entender lo que hay detrás, de modo que no dependas de una receta memorizada.

El punto de partida es la derivada en un punto como límite del cociente incremental y las derivadas laterales, que permiten estudiar qué ocurre a cada lado del punto en el que cambia la expresión de una función definida a trozos. Repasas la relación entre continuidad y derivabilidad: toda función derivable es continua, pero no al revés, como muestran los puntos angulosos de |x| o de |x² − 4|. También practicas casos menos evidentes, como el de x·|x|, que sí es derivable en el origen aunque uno de sus factores no lo sea, y aprendes a calcular la derivada por definición cuando las reglas no bastan.

El núcleo del material son los problemas con parámetros. Primero se impone la continuidad en el punto de unión, igualando los límites laterales con el valor de la función; después se igualan las derivadas laterales. Esto da un sistema de dos ecuaciones que fija los parámetros. Trabajas uniones entre polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, y también el caso de una discontinuidad evitable que se arregla redefiniendo un solo valor. Completa el bloque la clasificación de las discontinuidades: evitable, de salto finito y de salto infinito.

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas, cada una con su resolución paso a paso. Las tarjetas de memoria recogen definiciones y criterios: continuidad, derivadas laterales, punto anguloso, tipos de discontinuidad y la expresión a trozos de un valor absoluto. La tarea escrita propone 8 ejercicios para resolver a mano, entre ellos un caso en el que la función es derivable para cualquier valor de uno de los parámetros, la reescritura de una suma de valores absolutos y la clasificación de las discontinuidades de una función racional, todos con solución de referencia.

Es un material de práctica independiente para estudiar y repasar Matemáticas II de cara a la PAU.

• Calcular derivadas laterales y la derivada por definición
• Distinguir continuidad y derivabilidad y reconocer puntos angulosos
• Hallar parámetros para que una función a trozos sea continua y derivable
• Escribir a trozos funciones con valor absoluto y estudiar su derivabilidad
• Clasificar discontinuidades: evitable, de salto finito y de salto infinito

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de continuidad y derivabilidad de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022).