Teoremas de Rolle y del valor medio

Los teoremas de Rolle y del valor medio son dos resultados clásicos del análisis que en Matemáticas II se usan para razonar, no solo para calcular. En la PAU aparecen en preguntas del tipo «comprueba si se cumplen las hipótesis y halla el punto que garantiza el teorema» o «demuestra que la ecuación tiene exactamente una solución». Este material te ayuda a dominar ambos tipos.

Empiezas por los enunciados exactos. El teorema de Rolle exige que la función sea continua en el intervalo cerrado, derivable en el abierto y que tome el mismo valor en los extremos; entonces hay al menos un punto con derivada nula, es decir, con tangente horizontal. El teorema del valor medio (o de Lagrange) elimina la condición de igualdad en los extremos y garantiza un punto en el que la tangente es paralela a la cuerda. Verás por qué el segundo generaliza al primero y qué ocurre cuando falla alguna hipótesis: la falta de derivabilidad de |x| o de la raíz cúbica en el origen, o la discontinuidad de 1/x.

Después practicas el cálculo del punto c en funciones concretas, polinómicas y trigonométricas, y entiendes que el teorema asegura que existe al menos uno, no que sea único. La aplicación más útil para el examen es la combinación con el teorema de Bolzano: Bolzano da la existencia de una raíz y Rolle, a través del signo de la derivada, su unicidad o el número máximo de raíces. También ves consecuencias como que una función con derivada nula en un intervalo es constante, o cómo acotar diferencias de valores con el teorema del valor medio.

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas, cada una con su justificación. Las tarjetas de memoria resumen hipótesis, conclusiones e interpretaciones geométricas. La tarea escrita propone 8 ejercicios para redactar a mano: comprobación de hipótesis, búsqueda de c, un problema con parámetros en una función a trozos, el recuento exacto de las raíces de una ecuación y una desigualdad demostrada con el teorema del valor medio, todos con solución de referencia.

Es un material de práctica independiente para estudiar y repasar Matemáticas II antes de la PAU.

• Enunciar los teoremas de Rolle y del valor medio con sus hipótesis exactas
• Comprobar las hipótesis en funciones concretas y detectar cuál falla
• Hallar los puntos c que garantizan cada teorema
• Combinar Bolzano y Rolle para contar las soluciones de una ecuación
• Usar el teorema del valor medio para justificar propiedades y desigualdades

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de derivabilidad y sus aplicaciones de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022).