Problemas contextualizados de análisis de Matemáticas II

Desde 2025 la prueba de acceso a la universidad se organiza según el Real Decreto 534/2024, que pide preguntas de carácter competencial, a menudo situadas en contextos reales. En Matemáticas II eso significa que, además de saber derivar e integrar, hay que traducir una situación (una caja que se fabrica, una población que crece, un depósito que se llena) a una función y decidir qué herramienta del análisis responde a la pregunta. Este material está dedicado precisamente a ese paso.

Los problemas de optimización ocupan una parte importante: la caja sin tapa de volumen máximo, el cercado junto a un río, la lata cilíndrica que gasta la menor cantidad de chapa o el beneficio máximo de una empresa en euros. En todos ellos practicas el mismo método: elegir la variable, escribir la magnitud que se quiere optimizar, usar la condición del enunciado para dejarla en una sola variable, derivar, comprobar que se trata de un máximo o un mínimo y descartar las soluciones que no tienen sentido físico.

Otra parte trabaja los modelos exponenciales y la interpretación de la derivada: el tiempo que tarda en duplicarse una población, el instante en que la concentración de un medicamento en sangre es máxima o la rapidez con que cambia una magnitud. Las integrales aparecen como acumulación: el agua que entra en un depósito a partir de su caudal, la distancia recorrida a partir de la velocidad o el área de una parcela limitada por un camino y una acequia. También aplicas el teorema de Bolzano para asegurar que una temperatura alcanza un valor concreto en algún momento.

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas con un enunciado contextualizado y la resolución completa en cada respuesta. Las tarjetas de memoria resumen los pasos de un problema de optimización, el sentido de la integral de una tasa y el uso de Bolzano en un contexto. La tarea escrita propone 8 problemas para redactar a mano, con todo el planteamiento, como los de examen: un rectángulo inscrito bajo una parábola, el punto de una curva más cercano a otro, el enfriamiento de un líquido o el coste de un jardín, con su solución de referencia.

Es un material de práctica independiente, pensado para preparar la parte de análisis de Matemáticas II en la PAU con problemas de estilo competencial. Las preguntas son originales: no reproducen exámenes reales.

• Traducir una situación real a una función que se pueda estudiar
• Resolver problemas de optimización y comprobar que la solución tiene sentido
• Interpretar la derivada como tasa de variación y usar modelos exponenciales
• Calcular cantidades acumuladas y áreas con integrales
• Aplicar el teorema de Bolzano a una magnitud en un contexto

Material de práctica elaborado por Zestly con problemas originales de estilo competencial, a partir de los saberes de análisis de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022) y del carácter competencial de la prueba de acceso (Real Decreto 534/2024).