Ecuaciones matriciales, matriz inversa y potencias de matrices

El bloque de álgebra de Matemáticas II incluye casi siempre en la PAU un ejercicio de cálculo con matrices: resolver una ecuación matricial, estudiar para qué valores de un parámetro una matriz tiene inversa o encontrar la expresión general de una potencia. Este material está pensado para que practiques esos cálculos con números concretos y con el orden de las operaciones bien controlado.

La primera idea clave es que el producto de matrices no es conmutativo. Por eso, para despejar la incógnita en AX = B hay que multiplicar por la inversa por la izquierda, y en XA = B por la derecha; en ecuaciones como AX + B = C o AX = 2X + B hay que agrupar primero los términos con X y sacar factor común, usando la matriz identidad. Los distractores de las preguntas reproducen precisamente los errores de orden más frecuentes, para que aprendas a reconocerlos.

Después trabajas el cálculo de la matriz inversa: la condición de que el determinante no se anule, el método de la adjunta de la traspuesta y el método de Gauss-Jordan, tanto en matrices 2×2 como 3×3. Practicas también el estudio de una matriz con parámetro, factorizando su determinante para saber cuándo es invertible. Repasas las propiedades que más se usan: la inversa de un producto, el determinante de la inversa y el de un múltiplo escalar de una matriz.

La última parte se dedica a las potencias de matrices: calcular las primeras potencias, intuir la ley general y justificarla por inducción; aprovechar que una matriz cumple A² = I o A² = −I para calcular potencias muy altas, y reconocer las matrices nilpotentes.

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas, la mayoría de cálculo, con la resolución en cada respuesta. Las tarjetas de memoria resumen cómo despejar en cada tipo de ecuación y las propiedades de la inversa y del determinante. La tarea escrita propone 8 ejercicios para hacer a mano, entre ellos una inversa 3×3 por Gauss-Jordan, una matriz con parámetro, una potencia general demostrada por inducción y un sistema escrito en forma matricial, con su solución de referencia.

Es un material de práctica independiente para estudiar y repasar Matemáticas II antes de la PAU.

• Despejar la incógnita en ecuaciones matriciales respetando el orden del producto
• Calcular inversas de matrices 2×2 y 3×3 por adjuntos y por Gauss-Jordan
• Estudiar para qué valores de un parámetro una matriz es invertible
• Obtener potencias Aⁿ y justificarlas por inducción
• Aplicar las propiedades de la inversa y del determinante

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022) sobre operaciones con matrices, determinantes y uso de matrices para modelizar sistemas de ecuaciones.