Perpendicular común, áreas y volúmenes con vectores

El producto vectorial y el producto mixto son las herramientas que convierten la geometría del espacio de Matemáticas II en cálculo de medidas: con ellos se obtienen áreas, volúmenes y distancias a partir de coordenadas. En la PAU aparecen como apartados del tipo «calcula el área del triángulo», «halla el volumen del tetraedro» o «determina la perpendicular común a dos rectas que se cruzan». Este material te prepara para todos ellos con números concretos.

En la primera parte trabajas las áreas. El módulo del producto vectorial de dos lados es el área del paralelogramo que determinan, y la mitad es el área del triángulo. Practicas con triángulos y paralelogramos dados por sus vértices y con problemas en los que hay que hallar un parámetro para que el área tome un valor fijado. Los distractores incluyen los errores típicos: olvidar el factor un medio o confundir el producto vectorial con el escalar.

La segunda parte se centra en el producto mixto, que es un determinante de orden tres. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo, y un sexto de ese valor es el volumen del tetraedro; además, un producto mixto nulo indica que tres vectores (o cuatro puntos) son coplanarios. A partir del volumen se despeja la altura de un tetraedro sobre una cara, que coincide con la distancia de un vértice al plano de la cara opuesta.

La última parte trata las rectas que se cruzan: la distancia entre ellas como cociente entre un volumen y un área, y la perpendicular común, que se obtiene con puntos genéricos de cada recta imponiendo que el vector que los une sea perpendicular a ambas direcciones, o como intersección de dos planos. También calculas la distancia de un punto a una recta con el producto vectorial.

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas, casi todas de cálculo, con la resolución en cada respuesta. Las tarjetas de memoria recogen las fórmulas de áreas, volúmenes, coplanariedad, altura y distancia entre rectas. La tarea escrita propone 8 problemas para resolver a mano, desde el área de un triángulo hasta los pies de la perpendicular común y un volumen con parámetro, con su solución de referencia.

Es un material de práctica independiente para estudiar y repasar la geometría métrica de Matemáticas II antes de la PAU.

• Calcular áreas de triángulos y paralelogramos con el producto vectorial
• Calcular volúmenes de tetraedros y paralelepípedos con el producto mixto
• Estudiar la coplanariedad de cuatro puntos y la altura de un tetraedro
• Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan y entre un punto y una recta
• Hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022) sobre problemas de medidas de longitud, superficie o volumen en un sistema de coordenadas cartesianas.