Proyecciones ortogonales y puntos simétricos en el espacio

Calcular la proyección ortogonal de un punto o su simétrico respecto a un plano o a una recta es uno de los problemas de geometría del espacio más repetidos en la PAU de Matemáticas II. No requiere fórmulas nuevas, sino combinar bien lo que ya sabes de rectas y planos. Este material te entrena en ese método hasta que lo apliques con soltura.

La idea central es sencilla. Para proyectar un punto sobre un plano se traza la recta perpendicular al plano que pasa por el punto, usando el vector normal como vector director, y se corta con el plano. Para proyectar un punto sobre una recta se busca el punto de la recta tal que el vector que lo une con el punto dado sea perpendicular al vector director, o bien se corta la recta con el plano perpendicular que pasa por el punto. Una vez conocida la proyección M, el simétrico se obtiene con la relación P' = 2M − P, porque M es el punto medio del segmento. Muchas preguntas incluyen como distractor justamente la proyección en lugar del simétrico, o el punto medio en lugar del simétrico respecto a un punto, para que te acostumbres a no confundirlos.

Practicas con planos coordenados y con planos generales, con rectas dadas en forma paramétrica y con la recta x = y = z. También aprendes a proyectar una recta entera sobre un plano, proyectando dos de sus puntos, y a usar la proyección para comprobar la distancia de un punto a un plano o a una recta.

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas, casi todas de cálculo con números concretos, con la resolución en cada respuesta. Las tarjetas de memoria resumen el método: vector normal, plano perpendicular a una recta, relación entre P, M y P' y fórmula de la distancia. La tarea escrita propone 8 problemas para resolver a mano, entre ellos el simétrico de una recta respecto a un plano, el plano respecto al cual dos puntos son simétricos y el punto de un plano más cercano al origen, con su solución de referencia.

Es un material de práctica independiente para estudiar y repasar la geometría del espacio de Matemáticas II antes de la PAU.

• Calcular la proyección ortogonal de un punto sobre un plano y sobre una recta
• Obtener el simétrico de un punto respecto a un punto, un plano y una recta
• Proyectar una recta sobre un plano
• Relacionar la proyección con la distancia de un punto a un plano o a una recta
• Hallar el plano respecto al cual dos puntos son simétricos

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022) sobre la resolución de problemas con objetos geométricos del espacio representados en coordenadas cartesianas.