Regla de L'Hôpital: cálculo de límites indeterminados

La derivada no solo sirve para estudiar el crecimiento de una función: también es una herramienta muy eficaz para calcular límites. El currículo de Matemáticas II de 2º de Bachillerato recoge expresamente la aplicación de las derivadas al cálculo de límites, y en la PAU es habitual encontrar un apartado que pide resolver un límite indeterminado o hallar el valor de un parámetro para que un límite sea finito. Este material está pensado para que domines esa técnica con seguridad.

Empiezas por el enunciado preciso de la regla de L'Hôpital y por sus hipótesis: funciones derivables cerca del punto, derivada del denominador no nula en los puntos próximos y existencia del límite del cociente de derivadas. Verás por qué no basta con «derivar arriba y abajo» sin comprobar antes que hay una indeterminación, y por qué no se aplica la regla del cociente.

Después practicas los distintos tipos de indeterminación. Las formas 0/0 e ∞/∞ admiten la regla directamente, a veces aplicada dos o tres veces. Las formas 0·∞ e ∞−∞ se transforman primero en un cociente, ya sea pasando un factor al denominador o reduciendo a común denominador. Las indeterminaciones de tipo potencia (1^∞, 0^0 e ∞^0) se resuelven tomando logaritmos o con la fórmula del número e. También trabajas límites con parámetro: la condición de que el numerador tienda a cero fija el parámetro y después se calcula el valor del límite, exactamente como se plantea en muchos exámenes.

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas con un único resultado correcto o con varias opciones verdaderas, y los distractores reproducen errores típicos; cada respuesta incluye la resolución paso a paso. Las tarjetas de memoria repasan el enunciado, las hipótesis y la estrategia para cada tipo de indeterminación. La tarea escrita propone 8 ejercicios para resolver a mano con todo el desarrollo, desde límites trigonométricos y exponenciales hasta un caso en el que la regla no se puede aplicar aunque el límite exista, con su solución de referencia.

Es un material de práctica independiente, útil tanto para el estudio diario como para el repaso antes de la PAU de Matemáticas II.

• Enunciar la regla de L'Hôpital y comprobar sus hipótesis antes de aplicarla
• Resolver indeterminaciones 0/0 e ∞/∞, aplicando la regla varias veces si hace falta
• Transformar las formas 0·∞ e ∞−∞ en un cociente
• Resolver indeterminaciones 1^∞, 0^0 e ∞^0 tomando logaritmos
• Hallar el valor de un parámetro para que un límite sea finito y calcularlo

Material de práctica elaborado por Zestly a partir del saber «Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites» de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022).