ЕГЭ по математике: Неравенства — метод интервалов и рационализация

Задание 15 профильного ЕГЭ по математике — неравенство с развёрнутым решением, за которое можно получить 2 первичных балла. Логарифмы и показательные функции в нём встречаются часто, но решается такое неравенство почти всегда одним и тем же инструментом — методом интервалов, к которому задачу сводят равносильными переходами. Этот материал тренирует именно эти переходы.

Содержание опирается на элементы кодификатора ЕГЭ 2026 года: 2.5 «Целые и дробно-рациональные неравенства», 2.6 «Иррациональные неравенства», 2.7 «Показательные и логарифмические неравенства», 2.9 «Системы и совокупности уравнений и неравенств». Разобраны ситуации, на которых чаще всего теряют баллы: корень чётной кратности, при переходе через который знак не меняется; изолированная точка, которую легко забыть в нестрогом неравенстве; нули знаменателя, которые всегда выколоты; недопустимое умножение обеих частей на выражение с переменной неизвестного знака.

Отдельный блок посвящён неравенствам с модулем и корнем. Неравенство $|f| < g$ сводится к двойному неравенству, $|f| > g$ — к совокупности, а для $\sqrt{f}<g$ и $\sqrt{f}>g$ нужно помнить, в каком случае правая часть обязана быть положительной и когда отрицательная правая часть сразу даёт решения. Метод рационализации показан на показательных выражениях и на логарифме с переменным основанием: знак разности ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ на области допустимых значений совпадает со знаком $(a-1)(f-g)$. Замена $t=3^x$ или $t={\log }_{2}x$ превращает задачу в рациональное неравенство — и важно не забыть обратную замену.

В квизе двенадцать оригинальных неравенств; неверные варианты ответа построены на типичных ошибках, поэтому разбор после каждого вопроса объясняет, где именно ошибка. Карточки собирают равносильные переходы в компактную шпаргалку. В письменной работе восемь неравенств, которые нужно решить полностью, как в бланке ответов № 2: с областью допустимых значений, равносильными переходами и ответом в виде объединения промежутков. Устный экзамен проверяет, может ли ученик объяснить каждый переход словами, — это помогает не терять баллы за необоснованные шаги. Материал подходит и для первого знакомства с методом рационализации, и для повторения перед пробным экзаменом.

• Решать рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов с учётом кратности корней и выколотых точек
• Сводить неравенства с модулем и корнем к равносильным системам и совокупностям
• Применять метод рационализации к показательным и логарифмическим неравенствам, в том числе с переменным основанием
• Решать неравенства заменой переменной и правильно выполнять обратную замену
• Записывать ответ объединением промежутков с учётом области допустимых значений

Кодификатор ЕГЭ 2026 по математике: 2.5 целые и дробно-рациональные неравенства; 2.6 иррациональные неравенства; 2.7 показательные и логарифмические неравенства; 2.9 системы и совокупности. Спецификация: задание 15, развёрнутый ответ, 2 балла.