ЕГЭ по математике: Рациональные и иррациональные уравнения

Задание 6 профильного ЕГЭ по математике — уравнение с кратким ответом, 1 первичный балл. Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения уже разобраны в других материалах категории; здесь собраны рациональные и иррациональные уравнения, которые тоже встречаются в задании 6 и служат основой для уравнений второй части.

Содержание опирается на элементы кодификатора ЕГЭ 2026 года 2.1 «Целые и дробно-рациональные уравнения» и 2.2 «Иррациональные уравнения», а также на элементы 1.3 и 1.8 о корнях и преобразовании выражений. Главная тема материала — посторонние корни: откуда они берутся и как их отсеивать. В дробно-рациональном уравнении посторонним оказывается корень, обращающий знаменатель в нуль; в уравнении f=g — корень, при котором правая часть отрицательна; в уравнении f=g — корень, при котором подкоренные выражения отрицательны. Корень нечётной степени, наоборот, посторонних корней не даёт.

Отдельно тренируется формат ответа задания 6: «если корней несколько, запишите меньший», «наибольший отрицательный корень», «сколько корней». Неверные варианты в квизе — это как раз посторонние корни и корни, выбранные не по условию, поэтому ошибка сразу видна в разборе. Замена переменной показана на биквадратном уравнении, на уравнении с повторяющимся выражением x2+2x и на уравнении с x.

Карточки собирают условия равносильности. Письменная работа — восемь уравнений с полным решением и проверкой: дробное уравнение, у которого все найденные корни оказываются посторонними, уравнения с двумя корнями, уединение радикала, замена t+1t и уравнение с двумя радикалами от одного выражения. На устном экзамене ученик объясняет, почему тот или иной корень не подходит, — умение сформулировать условие равносильности пригодится и в задании 13. Материал рассчитан на выпускника 11 класса и подходит для повторения перед экзаменом. Отработка этих приёмов полезна не только для задания 6: те же условия равносильности и тот же отбор корней нужны в уравнениях второй части, где за потерянный или лишний корень снимают баллы. Поэтому в пояснениях каждый раз показано, почему корень подходит или не подходит. Письменную работу лучше выполнять с проверкой каждого корня.

  • Решать дробно-рациональные уравнения и отсеивать корни, обращающие знаменатель в нуль
  • Решать уравнения вида $\sqrt{f}=g$ и $\sqrt f=\sqrt g$ через равносильные системы
  • Решать уравнения с корнем нечётной степени
  • Применять замену переменной, сводящую уравнение к квадратному
  • Записывать ответ в формате задания 6: меньший, больший или наибольший отрицательный корень

Кодификатор ЕГЭ 2026 по математике: 2.1 целые и дробно-рациональные уравнения; 2.2 иррациональные уравнения; 1.3 корень n-й степени; 1.8 преобразование выражений. Спецификация: задание 6, краткий ответ, 1 балл.

Пример вопроса

Найдите корень уравнения $\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{x+3}{x-6}$.

Показать ответ

0

По основному свойству пропорции (при $x\ne -2$, $x\ne 6$): $(x-1)(x-6)=(x+3)(x+2)$, то есть $x^2-7x+6=x^2+5x+6$, откуда $-12x=0$, $x=0$. Значение 0 не обращает знаменатели в нуль.

← Математика (профильная)

↑ ЕГЭ