ЕГЭ по математике: Планиметрия — задачи с доказательством

Задание 17 профильного ЕГЭ по математике — планиметрическая задача из двух пунктов: в пункте а) требуется доказать утверждение, в пункте б) — найти длину, угол или площадь, обычно опираясь на доказанное. За полное решение ставят 3 первичных балла. Существующий материал категории по планиметрии даёт формульный фундамент (углы, окружности, площади); этот материал учит строить доказательство и связывать его с вычислением.

Содержание опирается на элемент кодификатора ЕГЭ 2026 года 7.1 «Фигуры на плоскости». Отобраны факты, которые чаще всего работают в задании 17: свойство биссектрисы, подобие треугольников (в том числе треугольника, отсекаемого высотами, с коэффициентом $|\cos C|$), отношения площадей треугольников с общей высотой и с общим углом, вписанный четырёхугольник и признак вписанности, окружность на отрезке как на диаметре, углы между хордами, теоремы о касательной и секущей, отрезки касательных к вписанной окружности, формула медианы, теорема синусов и косинусов, приём с параллельной прямой (теорема Фалеса) для отношений отрезков.

В квизе двенадцать оригинальных задач с однозначным ответом. Неверные варианты построены на типичных ошибках: диаметр вместо радиуса, вся секущая вместо хорды, полуразность дуг вместо полусуммы, коэффициент подобия по неверному отрезку. Карточки собирают теоремы и признаки, которые нужно уметь назвать в доказательстве. Письменная работа — восемь задач в формате задания 17: пункт а) с доказательством (подобие треугольников, свойство вписанного четырёхугольника, прямой угол между касательными, равенство площадей в трапеции), пункт б) с вычислением.

На устном экзамене ученик проговаривает доказательство по шагам и называет теоремы, на которые опирается, — эксперт засчитывает пункт а) только при полном обосновании, поэтому такая тренировка напрямую влияет на баллы. Материал рассчитан на выпускника 11 класса, уверенно решающего задание 1 первой части. Задачи сформулированы без рисунков: построить чертёж по условию — часть работы, которую выпускник выполняет на экзамене сам. В пояснениях к каждому вопросу указано, какая теорема использована, чтобы её можно было сразу назвать в доказательстве, а типичные ловушки отмечены отдельно. Рекомендуем сначала решить квиз, затем письменную работу.

• Доказывать подобие треугольников и использовать его для вычислений
• Применять свойства вписанных четырёхугольников, вписанных углов и углов между хордами
• Использовать теоремы о касательной и секущей и об отрезках касательных
• Находить отношения площадей и отрезков с помощью общей высоты, общего угла и параллельных прямых
• Оформлять решение задания 17: доказательство в пункте а) и вычисление в пункте б)

Кодификатор ЕГЭ 2026 по математике: 7.1 фигуры на плоскости. Спецификация: задание 17 (планиметрическая задача с доказательством), развёрнутый ответ, 3 балла.