ЕГЭ по математике: Производная и первообразная по графику

Задание 8 профильного ЕГЭ по математике почти всегда графическое: дан рисунок — график функции с касательной, график производной или график функции, для которой нужно найти приращение первообразной, — и ответ получается чтением рисунка через определения. Задание стоит 1 первичный балл, но ошибаются в нём часто, потому что путают график функции с графиком её производной. Этот материал учит не путать.

Содержание опирается на элементы кодификатора ЕГЭ 2026 года 4.1 «Производная функции. Производные элементарных функций», 4.2 «Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы» и 4.3 «Первообразная. Интеграл». Семь вопросов квиза построены на рисунках: найти f′(x0) по касательной, проходящей через узлы сетки (с положительным и отрицательным наклоном); по графику f′(x) найти точку максимума, посчитать точки экстремума (включая ловушку — нуль производной без смены знака), найти точку, в которой функция принимает наибольшее значение на отрезке; по графику f(x) определить, в каких отмеченных точках производная отрицательна; по графику f(x) найти F(6)−F(0) как площадь под графиком.

Остальные вопросы проверяют ту же теорию без рисунка: физический смысл производной (скорость по закону движения), проверку первообразной дифференцированием, площадь фигуры под параболой, формулу Ньютона — Лейбница и связь производной с тангенсом угла наклона касательной. Неверные варианты — типичные ошибки: вершина графика производной вместо её нуля, f(6) вместо F(6)−F(0), производная вместо первообразной.

Карточки собирают определения и признаки, которые нужны для чтения графиков. Письменная работа — восемь заданий, где нужно не только ответить, но и объяснить: промежутки монотонности по графику производной, уравнение касательной, точки с заданным наклоном касательной, первообразная через точку, площадь между двумя графиками, путь точки. На устном экзамене ученик рассказывает, как рассуждает над рисунком, — это лучший способ убедиться, что правило «производная меняет знак с плюса на минус — максимум» применяется осознанно, а не наугад. Рисунки в квизе выполнены на координатной сетке, как в экзаменационных вариантах, а их текстовое описание позволяет пользоваться материалом и без изображения. Перед решением стоит всегда проговаривать вслух, график чего изображён: функции, её производной или первообразной.

  • Находить значение производной в точке по касательной, проведённой к графику функции
  • Определять по графику производной промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функции
  • Отличать нуль производной без смены знака от точки экстремума
  • Находить приращение первообразной как площадь под графиком функции
  • Применять физический смысл производной и формулу Ньютона — Лейбница

Кодификатор ЕГЭ 2026 по математике: 4.1 производная, производные элементарных функций; 4.2 применение производной к исследованию функций; 4.3 первообразная, интеграл. Спецификация: задание 8, краткий ответ, 1 балл.

Пример вопроса

Координатная плоскость с сеткой (шаг 1). Изображены график функции y = f(x) — кривая, выпуклая вниз, — и прямая, касающаяся его в точке (2; 2), то есть в точке с абсциссой x₀ = 2 (отмечена пунктиром). Касательная проходит через узлы сетки (−2; 0) и (4; 3).

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0=2$. Найдите значение производной $f'(x_0)$.

Показать ответ

0,5

$f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы сетки $(-2;0)$ и $(4;3)$: $k=\frac{3-0}{4-(-2)}=\frac{3}{6}=0{,}5$. Ответ 2 — типичная ошибка, когда делят «бег» на «подъём».

← Математика (профильная)

↑ ЕГЭ