Ellisse e iperbole

Ellisse e iperbole completano lo studio delle coniche iniziato, dopo la retta, con parabola e circonferenza, e sono legate a numerose applicazioni reali, dalle orbite planetarie alle leggi di proporzionalità inversa. Questo quiz di ripasso copre la definizione geometrica, l'equazione canonica e le proprietà fondamentali di entrambe le curve.

L'ellisse è definita come il luogo dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi, è costante. La sua equazione canonica $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ mette in relazione i semiassi $a$ (maggiore) e $b$ (minore) con la distanza focale tramite $c^2=a^2-b^2$, e permette di calcolare l'eccentricità $e=c\mathrm{/}a$, il parametro che misura quanto l'ellisse si discosta da una circonferenza (più $e$ è vicino a 0, più l'ellisse è "tonda").

L'iperbole, al contrario, è il luogo dei punti per cui è costante il valore assoluto della differenza delle distanze dai due fuochi. La sua equazione canonica $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ha una relazione diversa tra i parametri, $c^2=a^2+b^2$, e possiede due rette asintotiche $y=\pm \frac{b}{a}x$ verso cui i rami della curva tendono senza mai toccarle. Il quiz tratta anche il caso particolare dell'iperbole equilatera (con $a=b$), la cui eccentricità è sempre $\sqrt{2}$, e la sua forma quando è riferita ai propri asintoti, $xy=k$ — l'equazione che descrive la proporzionalità inversa, incontrata spesso in fisica.

Ogni domanda applica queste formule a casi numerici concreti: calcolare semiassi, eccentricità, equazioni degli asintoti o distanza focale a partire da un'equazione data, e verificare se un punto appartiene a una curva assegnata.

Ogni domanda è autonoma e contiene già i dati numerici necessari, così da poter essere usata anche come esercizio isolato di ripasso.

• Riconoscere ellisse e iperbole a partire dalla loro definizione come luogo geometrico
• Ricavare semiassi, fuochi ed eccentricità dall'equazione canonica dell'ellisse
• Ricavare semiassi, fuochi, eccentricità e asintoti dall'equazione canonica dell'iperbole
• Riconoscere l'iperbole equilatera e la sua forma xy=k riferita agli asintoti
• Verificare se un punto appartiene a un'ellisse o a un'iperbole data la sua equazione
• Calcolare la distanza focale di un'ellisse o di un'iperbole a partire dai semiassi

Quiz di ripasso su ellisse e iperbole per il liceo: definizione come luogo geometrico, equazione canonica, semiassi e fuochi, eccentricità, asintoti dell'iperbole e caso particolare dell'iperbole equilatera xy=k.