Programación lineal aplicada a la empresa

La programación lineal es una de las aplicaciones más directas de las matemáticas a la toma de decisiones empresariales, y cierra el bloque de Álgebra de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Esta lección repasa los elementos de un modelo de programación lineal: las variables de decisión (por ejemplo, las unidades a producir de dos artículos), la función objetivo lineal que se desea maximizar o minimizar (como f(x,y) = 5x + 3y), y las restricciones lineales, incluidas las de no negatividad, que junto con las restricciones técnicas del problema delimitan la región factible.

Se explica el método gráfico de resolución: cada restricción se representa como un semiplano, la intersección de todos ellos forma la región factible, y el teorema fundamental de la programación lineal garantiza que, si existe solución óptima, se encuentra en un vértice de dicha región (o en un lado completo, en casos especiales). Se practica también la evaluación de restricciones mediante el punto de prueba (0,0) para determinar qué semiplano corresponde a una desigualdad, y el desplazamiento de la recta de la función objetivo para localizar el óptimo: alejarla del origen para maximizar, acercarla para minimizar.

El cuestionario combina preguntas conceptuales (qué significa que la región factible sea un conjunto vacío, qué es una restricción redundante) con un ejercicio de identificación de semiplanos. Las tarjetas de repaso resumen el procedimiento completo del método gráfico paso a paso, un contenido habitual de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

• Identificar la función objetivo, las variables de decisión y las restricciones de un modelo de programación lineal.
• Representar gráficamente una restricción lineal y determinar el semiplano que le corresponde.
• Determinar la región factible de un problema de programación lineal como intersección de semiplanos.
• Aplicar el teorema fundamental de la programación lineal para localizar el óptimo en un vértice de la región factible.
• Resolver gráficamente un problema de maximización de beneficio o minimización de coste desplazando la recta de la función objetivo.

"En un problema de programación lineal, ¿qué representa la región factible?" — el conjunto de puntos que cumplen simultáneamente con todas las restricciones del modelo. "Si una restricción es 2x + 3y ≤ 12, ¿qué zona del plano representa?" — evaluando el origen (0,0) en la desigualdad se obtiene 0 ≤ 12, que es verdadero, por lo que el semiplano que contiene al origen forma parte de la región factible.