Correlación y regresión lineal

Continuación natural del estudio de la covarianza, esta lección, propia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I (1º de Bachillerato), presenta el coeficiente de correlación de Pearson r y la recta de regresión por mínimos cuadrados, dos herramientas fundamentales para cuantificar y modelar la relación lineal entre dos variables estadísticas. Se explica que r es una medida adimensional acotada entre −1 y 1, invariante ante transformaciones lineales positivas de las variables, y que su signo coincide siempre con el de la covarianza y con el de la pendiente de la recta de regresión.

Se trabaja el método de mínimos cuadrados como criterio de ajuste de la recta y = ax + b: se busca minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales entre los puntos observados y la recta. Se repasa también el coeficiente de determinación R², que expresa el porcentaje de variabilidad de la variable dependiente explicado por la independiente (un R² de 0.81 significa que el 81% de la variabilidad queda explicada por el modelo lineal), y la propiedad de que la recta de regresión siempre pasa por el punto de medias (x̄, ȳ).

El cuestionario alterna preguntas de interpretación (qué indica un coeficiente de correlación cercano a 1, a −1 o a 0) con alguna pregunta numérica sobre el coeficiente de determinación. Las tarjetas de repaso resumen las fórmulas de la pendiente (covarianza entre varianza de X) y del propio coeficiente de Pearson, contenidos que suelen combinarse con problemas de covarianza y varianza calculados a partir de una tabla de datos.

• Calcular e interpretar el coeficiente de correlación de Pearson r de dos variables estadísticas.
• Aplicar el método de mínimos cuadrados para obtener la recta de regresión y = ax + b.
• Interpretar el coeficiente de determinación R² como porcentaje de variabilidad explicada.
• Relacionar el signo de la pendiente de la recta de regresión con el signo de la covarianza.
• Reconocer la propiedad de que la recta de regresión pasa siempre por el punto de medias (x̄, ȳ).

"Si el coeficiente de correlación de Pearson entre dos variables es r = −0.95, ¿qué se puede concluir sobre su relación?" — un coeficiente de −0.95 indica una relación lineal negativa muy fuerte. "Si el coeficiente de determinación R² es igual a 0.81, ¿qué porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente es explicado por la variable independiente?" — el 81%.