ЕГЭ по математике: Числа и их свойства — делимость и прогрессии

Числа и их свойства — материал задания 19 профильного ЕГЭ по математике, последнего и самого «олимпиадного» задания варианта (четыре первичных балла). Одновременно прогрессии остаются классикой первой части и текстовых задач. Специфика темы в том, что она почти не требует формул — только владения делимостью, остатками, чётностью и двумя семействами прогрессий. Этот тренажёр систематизирует именно этот аппарат.

Десять оригинальных заданий: арифметическая прогрессия с восстановлением разности по двум членам и подсчётом суммы (с дистракторами на сдвиг индекса и забытое деление на два); геометрическая прогрессия с положительными членами — восстановление знаменателя и первого члена; рекуррентная последовательность и её классификация; сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии; системы сравнений — подсчёт чисел с заданными остатками при делении на 7 и 5, восстановление остатка по модулю 36 из остатков по модулям 9 и 4 (метод перебора и китайская теорема об остатках в школьной форме); НОД через разложение на простые множители; количество трёхзначных чисел, кратных НОК(15, 20); свойства делимости с контрпримерами; чётность сумм и произведений с алгебраическим обоснованием.

Дистракторы отрабатывают фирменные ошибки блока: a₁ + 10d вместо a₁ + 9d, перепутанные формулы сумм двух прогрессий, потерянное третье решение системы сравнений, ложное «если a делится на b и на c, то делится на bc».

Флеш-карточки собирают опорный минимум: формулы n-го члена и сумм обеих прогрессий, сумма бесконечной прогрессии, признаки делимости на 3 и 9, связь НОД и НОК, правила чётности.

Тренажёр адресован выпускникам, замахивающимся на высокие баллы профильного ЕГЭ-2026: без свободного владения этим материалом задание 19 недоступно. Полезен и десятиклассникам математических классов как вводный курс в теорию чисел экзаменационного формата.

  • Применять формулы n-го члена и суммы арифметической и геометрической прогрессий без сдвига индекса
  • Решать задачи на остатки и системы сравнения методом перебора и по периодичности
  • Находить НОД и НОК через разложение на простые множители и считать кратные в диапазоне
  • Проверять свойства делимости и строить контрпримеры к ложным утверждениям
  • Обосновывать чётность сумм и произведений алгебраически

Оригинальные задания по блоку «Числа и вычисления» кодификатора ФИПИ профильного ЕГЭ-2026 (делимость, остатки, прогрессии — материал задания 19). Задания ФИПИ не воспроизводятся.

Пример вопроса

Пусть $a_n$ — арифметическая прогрессия, где $a_1 = 5$ и $a_7 = 29$. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии $S_{10}$.

Показать ответ

230

Разность прогрессии $d = \frac{a_7 - a_1}{7 - 1} = \frac{29 - 5}{6} = 4$. Тогда $a_{10} = a_1 + 9d = 5 + 36 = 41$. Сумма $S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{5 + 41}{2} \cdot 10 = 23 \cdot 10 = 230$. Ошибочный ответ 250 получается при сдвиге индекса ($a_{10} = a_1 + 10d = 45$), а 460 — если забыть разделить на 2.

Пройти этот тест →Повторить карточки →

← Математика (профильная)

↑ ЕГЭ