Goniometria: le formule fondamentali

La goniometria studia le funzioni seno, coseno e tangente definite sulla circonferenza goniometrica, ed è il prerequisito indispensabile per la trigonometria applicata ai triangoli e per molte funzioni trascendenti dell'analisi. Questo quiz di ripasso copre le definizioni, le relazioni fondamentali e le principali formule di trasformazione.

Si parte dalla circonferenza goniometrica: per un angolo $\alpha$, il coseno è l'ascissa e il seno è l'ordinata del punto associato sulla circonferenza di raggio 1, mentre la tangente è definita come $\sin (\alpha )\mathrm{/}\cos (\alpha )$ e non esiste dove il coseno si annulla (ad esempio in $\pi \mathrm{/}2$). Il quiz ripassa i valori esatti degli angoli notevoli (30°, 45°, 60°) e la prima relazione fondamentale ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$, insieme alle proprietà di periodicità (il seno ha periodo $2\pi$, la tangente $\pi$) e parità (il coseno è una funzione pari).

Un blocco importante riguarda gli angoli associati: come esprimere seno e coseno di $\pi -\alpha$ o $2\pi -\alpha$ in funzione di $\alpha$, sfruttando le simmetrie della circonferenza goniometrica — competenza che permette di ricondurre qualunque angolo al primo quadrante.

La parte centrale del quiz copre le formule di trasformazione: la formula di addizione $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )$, le formule di duplicazione (incluse le tre varianti equivalenti di $\cos (2\alpha )$, qui espressa solo in funzione del seno tramite la relazione fondamentale) e le formule di bisezione, che richiedono il doppio segno $\pm$ a seconda del quadrante dell'angolo dimezzato.

Le ultime domande chiedono di risolvere equazioni goniometriche elementari, come $\sin (x)=\frac{1}{2}$ nel primo giro o $\cos (x)=0$ in forma generale.

Ogni domanda è autonoma e contiene già l'espressione goniometrica da analizzare direttamente nel proprio testo.

• Definire seno, coseno e tangente sulla circonferenza goniometrica
• Conoscere i valori esatti delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli (30°, 45°, 60°)
• Applicare la relazione fondamentale sin^2+cos^2=1 e la definizione di tangente
• Calcolare seno e coseno degli angoli associati (pi-alfa, 2pi-alfa) sfruttando le simmetrie
• Applicare le formule di addizione, duplicazione e bisezione
• Riconoscere periodicità e parità delle funzioni goniometriche
• Risolvere equazioni goniometriche elementari del tipo $\sin(x) = k$ e $\cos(x) = k$

Quiz di ripasso sulla goniometria per il liceo: circonferenza goniometrica, valori notevoli, relazione fondamentale sin^2+cos^2=1, angoli associati, formule di addizione, duplicazione e bisezione.