La distribución binomial

La distribución binomial es el primer modelo de variable aleatoria discreta con nombre propio que se estudia en profundidad en Matemáticas II de Bachillerato, y constituye un contenido habitual del bloque de Probabilidad y Estadística en la PAU. Este cuestionario repasa las condiciones necesarias para que una variable siga este modelo: un número fijo $n$ de ensayos de Bernoulli, independientes entre sí, con una probabilidad de éxito $p$ constante en cada repetición —condiciones que permiten distinguir la binomial de otros modelos como el de Poisson (sucesos raros en un intervalo continuo) o el geométrico (número de intentos hasta el primer éxito).

Se practica el cálculo de la media $\mu =np$ y la varianza ${\sigma }^2=np(1-p)$, así como la fórmula de la probabilidad puntual $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$, aplicada a casos concretos como $X\sim B(5,0.2)$ o $X\sim B(4,0.5)$, y el cálculo de probabilidades acumuladas mediante la suma de probabilidades puntuales, ejemplificado con $P(X\le 1)$ para $X\sim B(3,0.5)$.

Un bloque conceptual importante trabaja la propiedad de simetría: la distribución binomial es simétrica si y solo si $p=0.5$, lo que implica igualdades como $P(X=0)=P(X=10)$ para $X\sim B(10,0.5)$, y se conecta esta simetría con el comportamiento asintótico de la binomial, que se aproxima a una distribución normal (campana simétrica) a medida que $n$ crece y $p$ se mantiene cercano a $0.5$, resultado directamente relacionado con el Teorema Central del Límite.

Se practica también el uso del suceso complementario para relacionar $P(X\le k)$ con $P(X>k)$, cuya suma es siempre 1, y un ejercicio de resolución de un sistema de dos ecuaciones (media y varianza conocidas) para determinar los parámetros $n$ y $p$ de una binomial concreta, procedimiento habitual en problemas inversos de la PAU.

Con diez preguntas de cálculo directo y comprensión conceptual, este test prepara al alumnado para reconocer, parametrizar y calcular probabilidades sobre variables aleatorias binomiales con la seguridad necesaria para el examen de acceso a la universidad.

• Reconocer las condiciones necesarias (ensayos independientes, n fijo, p constante) para que una variable siga un modelo binomial
• Calcular la media y la varianza de una distribución binomial B(n,p)
• Calcular probabilidades puntuales y acumuladas usando la fórmula de la binomial
• Aplicar la propiedad de simetría de la binomial cuando p=0.5 y relacionarla con la aproximación a la distribución normal
• Determinar los parámetros n y p de una binomial a partir de su media y varianza conocidas

Si X~B(5,0.2), ¿cuál es el valor de la probabilidad puntual P(X=1)? Usamos la fórmula P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k). Para n=5,k=1,p=0.2: C(5,1)(0.2)^1(0.8)^4=5·0.2·0.4096=0.4096. — Si la media de una distribución binomial es 3 y su varianza es 2.4, ¿cuáles son los valores de n y p? Dividiendo: q=2.4/3=0.8, p=0.2, n=15.