Integrales definidas: cálculo de áreas

El cálculo de áreas mediante integrales definidas es uno de los bloques con mayor peso práctico en la PAU de Matemáticas II, ya que conecta el cálculo diferencial e integral con la geometría analítica. Este cuestionario repasa el Teorema Fundamental del Cálculo (regla de Barrow), que establece la relación entre la integral definida de una función continua y una primitiva suya evaluada en los extremos del intervalo, herramienta que sustituye el cálculo mediante sumas de Riemann por un procedimiento algebraico directo.

Se trabajan las propiedades básicas de la integral definida: la inversión de los límites de integración (que cambia el signo del resultado), la propiedad aditiva respecto a un punto intermedio del intervalo (útil para descomponer ${\int }_a^b$ en ${\int }_a^c+{\int }_c^b$), y el caso particular de las funciones impares en intervalos simétricos, cuya integral se anula por cancelación de áreas.

Un bloque central distingue el valor "bruto" de la integral definida (que puede ser negativo si la función está por debajo del eje X) del concepto de área geométrica (siempre positiva), exigiendo tomar el valor absoluto cuando la función cambia de signo en el intervalo. Se practica también el cálculo del área encerrada entre una curva y el eje X, así como el área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$, que requiere integrar la diferencia $f(x)-g(x)$ en el intervalo donde una domina sobre la otra —ejemplificado con el clásico caso de $f(x)=x$ y $g(x)=x^2$ en $[0,1]$—.

Finalmente, se incluye el cálculo de integrales inmediatas como ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx$, que conecta directamente con la función logaritmo neperiano. Con diez preguntas de cálculo directo y de comprensión conceptual, este test consolida las herramientas necesarias para resolver con seguridad los problemas de áreas que aparecen recurrentemente en los exámenes de acceso a la universidad.

• Aplicar la regla de Barrow para calcular el valor de una integral definida a partir de una primitiva
• Utilizar las propiedades de linealidad y aditividad de la integral definida en intervalos
• Distinguir entre el valor numérico de una integral definida y el área geométrica que representa, aplicando valor absoluto cuando sea necesario
• Calcular el área encerrada entre una curva y el eje X, y entre dos curvas, mediante integración
• Reconocer que la integral de una función impar en un intervalo simétrico [-a,a] es siempre cero

Calcula el área de la región limitada por f(x)=x y g(x)=x² en el intervalo [0,1]. La integral de (x-x²) desde 0 hasta 1 es [x²/2 - x³/3] de 0 a 1, es decir 1/2 - 1/3 = 1/6. — Si una función f(x) es impar y el intervalo es simétrico [-a,a], ¿cuánto vale ∫f(x)dx? Para una función impar en un intervalo simétrico, las áreas se cancelan, resultando en cero.