Matrices: operaciones y propiedades

El álgebra matricial es la puerta de entrada al bloque de Álgebra Lineal en Matemáticas II de 2º de Bachillerato, y sienta las bases para el estudio posterior de determinantes y sistemas de ecuaciones lineales de cara a la PAU. Este cuestionario repasa las operaciones fundamentales con matrices: la suma (que exige matrices de la misma dimensión) y el producto matricial, cuya condición de compatibilidad —el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda— determina la dimensión resultante $m\times p$ a partir de matrices $m\times n$ y $n\times p$.

Se trabajan las propiedades algebraicas del producto de matrices: es asociativo y distributivo respecto de la suma, pero en general no conmutativo ($AB\mathrm{\ne }BA$), y no cumple la propiedad de anulación del producto (que $AB=0$ no implica que $A=0$ o $B=0$), un matiz que suele sorprender a quienes vienen del álgebra escalar. También se estudia el papel de la matriz identidad como elemento neutro del producto matricial por ambos lados.

Un bloque importante distingue las matrices especiales: la matriz traspuesta y su relación con las matrices simétricas ($A=A^T$) y antisimétricas ($A^T=-A$), condición que implica que los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son siempre cero. Se aborda también la condición de existencia de la matriz inversa —que el determinante sea distinto de cero— y la propiedad de la inversa de un producto, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$, que invierte el orden de los factores.

Finalmente, se practica el concepto de rango de una matriz como el número de filas (o columnas) linealmente independientes, coincidiendo siempre con el rango de su traspuesta, y su relación con el efecto que tiene multiplicar una matriz cuadrada de orden n por un escalar k sobre su determinante (que queda multiplicado por $k^n$). Estas diez preguntas ofrecen una base sólida para abordar con seguridad los problemas de matrices que forman parte habitual del bloque de Álgebra en la prueba de acceso a la universidad.

• Calcular la dimensión resultante de un producto de matrices y determinar cuándo dicho producto está definido
• Identificar las propiedades algebraicas del producto matricial: asociatividad, distributividad y no conmutatividad
• Reconocer las matrices simétricas y antisimétricas a partir de su relación con la matriz traspuesta
• Aplicar la condición de existencia de la matriz inversa basada en el determinante
• Calcular el rango de una matriz y relacionarlo con la independencia lineal de sus filas o columnas

Dadas dos matrices A y B de dimensiones m×n y n×p respectivamente, ¿cuál es la dimensión resultante del producto matricial A·B? El producto de una matriz m×n por una n×p resulta en una matriz m×p. — Si A y B son matrices invertibles de orden n, ¿cuál es la expresión correcta para la inversa del producto (A·B)⁻¹? La inversa de un producto de dos matrices invertibles es el producto de sus inversas en orden inverso: B⁻¹A⁻¹.