Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

La probabilidad condicionada y el teorema de Bayes forman el núcleo del bloque de Probabilidad de Matemáticas II en 2º de Bachillerato, con presencia frecuente en la PAU a través de problemas contextualizados con tablas de contingencia y diagramas de árbol. Este cuestionario repasa la definición formal de probabilidad condicionada, $P(A\mathrm{\mid }B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ para $P(B)>0$, y su consecuencia directa: dado un suceso B fijo, la probabilidad condicionada cumple los axiomas de Kolmogorov, por lo que $P(A\mathrm{\mid }B)+P(A^c\mathrm{\mid }B)=1$.

Se distingue con claridad la condición de independencia de dos sucesos, $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, de la condición de sucesos mutuamente excluyentes, $P(A\cap B)=0$ —dos conceptos que el alumnado confunde con frecuencia pero que son estructuralmente distintos—, y se practica el reconocimiento de la independencia estadística en tablas de contingencia, donde la proporcionalidad de las frecuencias relativas de filas y columnas es el indicador clave.

El bloque central trabaja el teorema de la Probabilidad Total, $P(B)={\sum }_{i=1}^{n}P(B\mathrm{\mid }{A}_i)\cdot P(A_i)$, aplicable cuando los sucesos $A_i$ forman una partición del espacio muestral, y el teorema de Bayes, $P(A_i\mathrm{\mid }B)=\frac{P(B\mathrm{\mid }{A}_i)\cdot P(A_i)}{P(B)}$, que permite actualizar la probabilidad a priori de un suceso a una probabilidad a posteriori tras observar nueva evidencia B. Se analiza también el caso límite en que la probabilidad a priori de un suceso es cero, lo que implica necesariamente una probabilidad a posteriori nula.

Se incluyen ejercicios de cálculo directo aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada en ambos sentidos —despejando tanto $P(A\mathrm{\mid }B)$ como $P(A\cap B)$—, así como preguntas sobre las propiedades de los diagramas de árbol, donde las ramas que parten de un mismo nodo representan una partición del espacio muestral en esa etapa y, por tanto, sus probabilidades deben sumar siempre 1.

Con diez preguntas que combinan comprensión teórica y cálculo numérico, este test constituye una preparación sólida para los problemas de probabilidad condicionada que aparecen de forma recurrente en el examen de acceso a la universidad.

• Aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada P(A|B) en ambos sentidos, despejando la intersección o la condicionada
• Distinguir la condición de independencia de sucesos de la condición de sucesos mutuamente excluyentes
• Aplicar el teorema de la Probabilidad Total para calcular P(B) a partir de una partición del espacio muestral
• Aplicar el teorema de Bayes para calcular una probabilidad a posteriori a partir de probabilidades a priori y condicionadas
• Interpretar tablas de contingencia y diagramas de árbol para verificar independencia y calcular probabilidades compuestas

Si P(A)=0.4, P(B)=0.5 y P(A∩B)=0.1, ¿cuál es el valor de P(A|B)? Aplicando la fórmula P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.1/0.5=0.2. — En el contexto del Teorema de Bayes, ¿qué sucede si la probabilidad a priori P(Ai) es 0? Si P(Ai)=0, entonces P(Ai∩B)=0, por lo que P(Ai|B)=0 independientemente de la veracidad de B.