Derivadas: reglas de derivación

Este cuestionario repasa el conjunto de reglas de derivación que todo alumno de 2º de Bachillerato debe dominar con fluidez antes de abordar los bloques de aplicaciones de la derivada y optimización en la PAU de Matemáticas II. Se cubren la regla de la potencia para exponentes reales, la regla del producto, la regla del cociente y, de forma transversal en varias preguntas, la regla de la cadena aplicada a funciones compuestas.

Las preguntas sobre la regla de la cadena incluyen casos representativos como la derivada de $\mathrm{sen}(x^2)$ o de $\ln (g(x))$, situaciones en las que el alumnado suele cometer el error de olvidar multiplicar por la derivada de la función interna. También se practican las derivadas de las funciones exponenciales de base distinta de e (como $a^x$), un caso que se confunde con frecuencia con la regla de la potencia $x^a$.

Un bloque específico trabaja las derivadas trigonométricas, incluyendo la deducción de la derivada de la tangente a partir del cociente seno/coseno y las identidades pitagóricas, así como las derivadas sucesivas de seno y coseno, que siguen un patrón cíclico de periodo 4 y son una fuente habitual de errores de signo entre los estudiantes.

El cuestionario también incluye preguntas de selección múltiple sobre derivadas de orden superior: qué ocurre con la segunda, tercera y cuarta derivada de un polinomio, y por qué la función exponencial $e^x$ es invariante frente a la derivación de cualquier orden, propiedad que solo comparten sus múltiplos $k{e}^x$.

Con un total de diez preguntas que combinan cálculo mecánico y comprensión conceptual, este test constituye una base sólida antes de abordar problemas más complejos de crecimiento, extremos relativos y optimización, bloques que dependen directamente del dominio fluido de estas reglas de derivación.

• Aplicar la regla de la potencia para derivar funciones de la forma x^n con exponente real
• Utilizar correctamente las reglas del producto y del cociente para derivar funciones compuestas por operaciones algebraicas
• Aplicar la regla de la cadena a funciones logarítmicas, trigonométricas y compuestas
• Derivar funciones exponenciales de base distinta de e usando el logaritmo natural de la base
• Calcular derivadas sucesivas de funciones trigonométricas identificando su patrón cíclico

Dada la función $f(x) = x^n$ con $n \in \mathbb{R}$, ¿cuál es la expresión correcta para su derivada $f'(x)$? La regla de la potencia establece que para cualquier exponente real n, la derivada de x^n es n multiplicado por x elevado a n-1. — Calcule la derivada de $f(x) = \tan(x)$. Como tan(x) = sen(x)/cos(x), aplicando la regla del cociente obtenemos 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) (o sec²(x)).